scholarly journals On the Numerical Solution of Some Non-Linear Stochastic Differential Equations Using the Semi-Discrete Method

2016 ◽  
Vol 16 (1) ◽  
pp. 105-132 ◽  
Author(s):  
Nikolaos Halidias ◽  
Ioannis S. Stamatiou
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Numerical Solution ◽  
Stochastic Differential Equations ◽  
Numerical Experiments ◽  
Euler Method ◽  
Optimal Order ◽  
Financial Mathematics ◽  
Negative Solution ◽  
Discrete Method ◽  
Linear Problems

AbstractWe are interested in the numerical solution of stochastic differential equations with non-negative solutions. Our goal is to construct explicit numerical schemes that preserve positivity, even for super-linear stochastic differential equations. It is well known that the usual Euler scheme diverges on super-linear problems and the tamed Euler method does not preserve positivity. In that direction, we use the semi-discrete method that the first author has proposed in two previous papers. We propose a new numerical scheme for a class of stochastic differential equations which are super-linear with non-negative solution. The Heston 3/2-model appearing in financial mathematics belongs to this class of stochastic differential equations. For this model we prove, through numerical experiments, the “optimal” order of strong convergence at least 1/2 of the semi-discrete method.

scholarly journals STRONG PREDICTOR–CORRECTOR EULER METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

2008 ◽  
Vol 08 (03) ◽  
pp. 561-581 ◽  
Author(s):  
NICOLA BRUTI-LIBERATI ◽  
ECKHARD PLATEN
Keyword(s):  
Differential Equations ◽  
Stochastic Differential Equations ◽  
Numerical Experiments ◽  
Strong Predictor ◽  
Euler Method ◽  
Scenario Simulation ◽  
New Class ◽  
Numerical Instabilities ◽  
Euler Methods ◽  
Predictor Corrector

This paper introduces a new class of numerical schemes for the pathwise approximation of solutions of stochastic differential equations (SDEs). The proposed family of strong predictor–corrector Euler methods are designed to handle scenario simulation of solutions of SDEs. It has the potential to overcome some of the numerical instabilities that are often experienced when using the explicit Euler method. This is of importance, for instance, in finance where martingale dynamics arise for solutions of SDEs with multiplicative diffusion coefficients. Numerical experiments demonstrate the improved asymptotic stability properties of the proposed symmetric predictor–corrector Euler methods.

scholarly journals Order Conditions for Sampling the Invariant Measure of Ergodic Stochastic Differential Equations on Manifolds

2021 ◽  
Author(s):  
Adrien Laurent ◽  
Gilles Vilmart
Keyword(s):  
Invariant Measure ◽  
Differential Equations ◽  
Stochastic Differential Equations ◽  
Linear Group ◽  
Langevin Equation ◽  
Numerical Experiments ◽  
Special Linear Group ◽  
Order Conditions ◽  
High Order ◽  
Differential Equations On Manifolds

AbstractWe derive a new methodology for the construction of high-order integrators for sampling the invariant measure of ergodic stochastic differential equations with dynamics constrained on a manifold. We obtain the order conditions for sampling the invariant measure for a class of Runge–Kutta methods applied to the constrained overdamped Langevin equation. The analysis is valid for arbitrarily high order and relies on an extension of the exotic aromatic Butcher-series formalism. To illustrate the methodology, a method of order two is introduced, and numerical experiments on the sphere, the torus and the special linear group confirm the theoretical findings.

scholarly journals Numerical analysis of stochastic differential equations with applications in financial mathematics and molecular dynamics

2016 ◽  
Author(s):  
Ιωάννης Σταματίου
Keyword(s):  
Molecular Dynamics ◽  
Numerical Analysis ◽  
Differential Equations ◽  
Stochastic Differential Equations ◽  
Coarse Graining ◽  
Financial Mathematics

Σε αυτή τη διατριβή αντικείμενο έρευνας είναι η αριθμητική επίλυση στοχαστι- κών διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ), οι οποίες έχουν λύση σε ένα συγκεκριμένο χωρίο. Ο στόχος μας ειναι η κατασκευή άμεσων αριθμητικών σχημάτων τα οποία διατηρούν αυτό το χωρίο, κυρίως σε περιπτώσεις όπου οι συντελεστές των ΣΔΕ είναι μη-γραμμικοί. Είναι γνωστό ότι το με βήμα προς τα εμπρός σχήμα Euler αποκλίνει σε υπερ- γραμμικά προβλήματα και η ελεγχόμενη μέθοδος Euler δε διατηρεί απαραίτητα τη δομή του αρχικού προβλήματος. Προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σχήμα, χρησιμοποιώντας την Ημι-Διακριτή μέθοδο, για διάφορες κλάσεις στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Για κάποια υπεργραμμικά προβλήματα (όπως το Heston 3/2-μοντέλο) καθώς και για υπο- γραμμικά (όπως το CEV μοντέλο), τα οποία εμφανίζονται στο πεδίο των χρημα- τοοικονομικών μαθηματικών, κατασκευάζουμε ένα αριθμητικό σχήμα το οποίο διατηρεί τη θετικότητα. Παραπέρα, εφαρμόζουμε τη μέθοδο μας σε προβλήματα τα οποία εμφανίζονται στο πεδίο των μοριακών δυναμικών, όπου το προτει- νόμενο σχήμα το οποίο διατηρεί τη δομή της αρχικής εξίσωσης προσεγγίζει αποτελεσματικά κάποιες ΣΔΕ οι οποίες προκύπτουν έπειτα από μια διαδικασία απλοποίησης (coarse graining ). Θεωρούμε επίσης την περίπτωση Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων με Υστέρηση με μη-αρνητικές λύσεις. Ξανά στόχος μας είναι άμεσα αριθμητικά σχήματα τα οποία διατηρούν τη θετικότητα. Επεκτείνουμε την Ημι-Διακριτή μέθοδο από το πλαίσιο των Συνήθων ΣΔΕ στην περίπτωση με σταθερή υστέρηση, όπου και αποδεικνύουμε ισχυρή σύγκλιση (μοντέλο DGBM). Αριθμητικά πειράματα υποστηρίζουν τα θεωρητικά μας αποτελέσματα.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document