Στο πρώτο μέρος αυτής της διατριβής μελετάμε προδρομικές και οπισθοδρομικές εκδοχές της τυχαίας εξίσωσης Burgers (ΤΕΒ) με στοχαστικούς συντελεστές. Αρχικά ο μετασχηματισμός Cole-Hopf ανάγει την προδρομική ΤΕΒ σε μια προδρομική τυχαία εξίσωση θερμότητας (ΤΕΘ) που μπορεί να αντιμετωπιστεί ως καθοριστική. Εν συνεχεία παρέχουμε μία σύνδεση μεταξύ της οπισθοδρομικής εξίσωσης Burgers και ενός συστήματος προδρομικών - οπισθοδρομικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων (ΠΟΣΔΕ). Εκμεταλλευόμενοι αυτή την σύνδεση, εξάγουμε μια γενίκευση του μετασχηματισμού Cole-Hopf που συνδέει την οπισθοδρομική ΤΒΕ με την οπισθοδρομική ΤΕΘ και διερευνoύμε το εύρος της εφαρμογής του. Επίσης, παρέχονται στοχαστικές αναπαραστάσεις Feynman-Kac για τις λύσεις. Τέλος, κατασκευάζονται ακριβείς λύσεις και παρουσιάζονται εφαρμογές στο στοχαστικό έλεγχο και στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά.Στο δεύτερο μέρος μελετάμε μια κατηγορία συστημάτων πλήρους πεπλεγμένων ΠΟΣΔΕ σε άπειρο ορίζοντα, τα οποία συναντώνται σε μια σειρά από μοντέλα μελλοντικών προσδοκιών συνεχούς χρόνου με τυχαίους συντελεστές. Υπό κανονικές συνθήκες Lipschitz και μονοτονίας, και μέσω της αρχής συστολής απεικόνισης, αποδεικνύουμε την ύπαρξη, τη μοναδικότητα, μια ιδιότητα σύγκρισης καθώς και την εξάρτηση από μια παράμετρο των προσαρμοσμένων λύσεων. Κάνοντας περαιτέρω τη σύνδεση με τις σχεδόν-γραμμικές οπισθοδρομικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΟΣΜΔΕ) άπειρου ορίζοντα, οδηγούμαστε στην έννοια των στάσιμων στοχαστικών λύσεων viscosity. Μία στοχαστική αρχή μεγίστου για το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου των εν λόγω ΠΟΣΔΕ παρέχεται επίσης ως εφαρμογή στο πλαίσιο αυτό.
Properties of solutions of stochastic differential equations with random coefficients, non-Lipschitzian diffusion, and Poisson measures
