Eine Rekonstruktion des Beweises von Theodoros

In Platons Dialog Theaitetos diskutieren Sokrates, Theodoros von Kyrene und Theaitetos über die Frage „Was ist Erkenntnis?“ Als ein Beispiel erzählt Theaitetos, dass Theodoros für die nichtquadratischen Zahlen N=3,5,…,17 und einer gegebenen Strecke a gezeigt hat, dass die Strecke d mit d^2=Na^2 nicht kommensurabel zu a ist. Auf Grund der Beweise für jede einzelne dieser Zahlen erkannte Theaitetos, dass die Beweise quasi allgemein sind; darauf hin definierte er die Strecken d als dynameis, weil sie für alle nichtquadratischen Zahlen N nicht kommensurabel zu a sind, aber in der Potenz mit den Flächen [Tht. 148 a-b]. In meinem Beitrag wird zunächst eine Rekonstruktion der einzelnen Beweise des Theodoros vorgestellt, so dass auf einen allgemeinen Beweis des Theorems geschlossen werden kann. Dieser beruht jeweils auf einer absteigenden Rekursion von Zahlenpaaren, die für N=K²±1 invertierbar ist; damit ergeben sich aufsteigende Rekursionen dieser Zahlenpaare als Verallgemeinerungen der Seiten- und Diagonalzahlen des Quadrates.