Eine Rekonstruktion des Beweises von Theodoros

In Platons Dialog Theaitetos diskutieren Sokrates, Theodoros von Kyrene und Theaitetos über die Frage „Was ist Erkenntnis?“ Als ein Beispiel erzählt Theaitetos, dass Theodoros für die nichtquadratischen Zahlen N=3,5,…,17 und einer gegebenen Strecke a gezeigt hat, dass die Strecke d mit d^2=Na^2 nicht kommensurabel zu a ist. Auf Grund der Beweise für jede einzelne dieser Zahlen erkannte Theaitetos, dass die Beweise quasi allgemein sind; darauf hin definierte er die Strecken d als dynameis, weil sie für alle nichtquadratischen Zahlen N nicht kommensurabel zu a sind, aber in der Potenz mit den Flächen [Tht. 148 a-b]. In meinem Beitrag wird zunächst eine Rekonstruktion der einzelnen Beweise des Theodoros vorgestellt, so dass auf einen allgemeinen Beweis des Theorems geschlossen werden kann. Dieser beruht jeweils auf einer absteigenden Rekursion von Zahlenpaaren, die für N=K²±1 invertierbar ist; damit ergeben sich aufsteigende Rekursionen dieser Zahlenpaare als Verallgemeinerungen der Seiten- und Diagonalzahlen des Quadrates.

Felix Klein und Paul Koebe – „Durchführung eines im Grunde doch Kleinen Programms“

This article analyzes the relationship between the mathematicians Felix Klein and Paul Koebe. Inspired by Klein, Koebe provided the proofs for the uniformization theorems formulated by Klein and Henri Poincaré. In particular, Koebe was able to realize Klein’s original idea of a continuity proof, the possibility of which had been doubted by Poincaré. By analyzing Koebe’s letters to Klein and files from the Jena University Archives, new insights could be gained, which also concern Paul Koebe’s biography. Dieser Artikel analysiert die Beziehung zwischen den Mathematikern Felix Klein und Paul Koebe. Inspiriert von Klein lieferte Koebe die Beweise für die von Klein und Henri Poincaré formulierten Uniformisierungstheoreme. Insbesondere war Koebe in der Lage, Kleins ursprüngliche Idee eines Kontinuitätsbeweises zu realisieren, dessen Möglichkeit von Poincaré bezweifelt worden war. Durch die Analyse von Koebes Briefen an Klein und von Akten aus dem Jenaer Universitätsarchiv konnten neue Erkenntnisse gewonnen werden, die auch die Biographie Paul Koebes betreffen.

Zur Geschichte der finiten Differenzen

Since the time of the Romans finite differences were used to simplify computations in many ways; after the 17th century for instance for localizing zeroes of functions, approximating definite integrals or producing numerical tables. Up to 1900 they were used very rarely for solving differential equations numerically. After 1900, when the importance of differential equations grew dramatically, finite differences became one of the main tools for solving them. This article focusses on the state of knowledge and skills about the theory of finite differences on the eve of this change. It relies strongly on the article by D. Selivanov in the encyclopaedia because it provides the needed overview. Keywords: calculus of finite differences; state of knowledge around 1900; Demetrius Seliwanoff; encyclopaedia of the mathematical sciences and their applications, vol 1 (1904);

Notizen zur Geschichte der Mathematik in der NTM der Jahre 1960–1990

Die „Zeitschrift für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin“ (NTM) wurde im Jahre 1960 von dem Physiker und Wissenschaftshistoriker Gerhard Harig (Leipzig) und dem Mediziner und Medizinhistoriker Alexander Mette (Berlin) mit dem Ziel gegründet, die Wissenschaftsgeschichte als selbständige Wissenschaftsdisziplin mit eigenständigen Problemstellungen und Begrifflichkeiten einem breiten Kreis von Interessenten bekannt zu machen und zugleich zu einem tieferen Verständnis für die Gesetzmäßigkeiten in der Entwicklung von Natur und Gesellschaft und ihren Wechselwirkungen beizutragen. Im ersten Teil des Beitrages wird die wechselvolle Geschichte der NTM selbst beleuchtet, die heute konzeptionell auf eine Erweiterung ihrer Inhalte auf „Internationalität und Offenheit für unterschiedliche geistige Orientierungen“ ausgerichtet ist. Der zweite Teil ist spezieller den vielfältigen Frage- und Problemstellungen der Entwicklung der Mathematik und ihrer Anwendungen in Arbeiten unterschiedlichen Umfangs sowie Rezensionen, Tagungsberichten, Biographien, Nekrologen u. a. im Zeitraum zwischen 1960 und 1990 gewidmet. Beiträge zur Geschichte der Algebra lassen dabei ein markantes Forschungsfeld erkennen.