О точных принципах больших уклонений для обобщенного процесса восстановления

Рассматриваются два принципа больших уклонений (п.б.у.) - "обычный" (при выполнении "усиленного" условия Крамера) и "расширенный", когда выполнено лишь стандартное условие Крамера, а функционал уклонений может быть конечным и для разрывных траекторий. Стандартная формулировка этих принципов содержит две асимптотические оценки (сверху и снизу) для логарифмов вероятностей того, что нормированная траектория процесса принадлежит заданному множеству $B$. Найдены условия на множество $B$, при которых эти оценки совпадают и принципы больших уклонений принимают форму точных асимптотических равенств. Такие п.б.у. названы точными. Установлено, что оценивающий отрезок обычного п.б.у. вложен в оценивающий отрезок расширенного п.б.у. и что, стало быть, выполнение точного расширенного п.б.у. влечет за собой выполнение точного обычного п.б.у. Полученные результаты в полной мере справедливы и актуальны для случайных блужданий (частного случая обобщенных процессов восстановления).

Скорость сходимости распределений геометрических сумм к закону Лапласа

В статье модифицированы метод Стейна и вспомогательная техника преобразования распределений случайных величин. Это позволило оценить скорость сходимости распределений нормированных геометрических сумм к закону Лапласа. В случае независимых слагаемых разработанный подход дает оптимальную оценку при использовании идеальной метрики порядка $3$. Новые результаты получены также с помощью метрик Колмогорова и Канторовича.

Воспроизводимость условных квантилей многомерных распределений и упрощенная конструкция из парных копул

В работе дается эквивалентное определение свойства воспроизводимости условных квантилей многомерных вероятностных распределений с использованием понятия копулы. На основе этого определения устанавливается связь между свойством воспроизводимости условных квантилей и упрощающим предположением в упрощенной конструкции из парных копул (simplified pair-copula construction). Кроме того, показывается, что свойство воспроизводимости условных квантилей сохраняется при переходе к копуле многомерного распределения.

Асимптотика распределения момента достижения максимума траекторией процесса Пуассона со сносом и изломом

В работе найдена точная асимптотика распределения момента достижения максимума траекторией процесса $Y(t)=at-\nu_+(pt)+\nu_-(-qt)$, $t\in(-\infty,\infty)$, где $\nu_{\pm}(t)$ - независимые стандартные пуассоновские процессы, доопределенные нулем на отрицательной полуоси. От параметров $a$, $p$, $q$ требуется только выполнение условия $\mathbf{E}Y(t)<0$, $t\neq 0$.

Система $\mathrm{M}|\mathrm{G}|1$ с перерывами в работе прибора и их задержками

Рассматривается одноканальная система с перерывами в обслуживании, пуассоновским входящим потоком и произвольно распределенным временем обслуживания. Перерывы в обслуживании могут означать как полное отключение прибора на случайный период времени, так и переход к другому (нестандартному) режиму. Возникновения перерывов возможны либо по завершении периодов занятости, когда система работает в стандартном режиме, либо по окончании перерывов, в конце которых в системе нет требований. Мы предполагаем, что перед возможным началом перерыва имеется случайная задержка и перерыв возникает по ее окончании, если за время задержки требования в систему не поступали. В противном случае перерыв отменяется, и система переходит в стандартный режим работы. Рассмотрены три модели с различными условиями относительно наличия задержек и правил возвращения к стандартному режиму. В достаточно общих предположениях, касающихся распределений времен задержек, длительностей перерывов, процессов, описывающих функционирование системы в течение перерывов, получены формулы для распределения и математического ожидания числа требований в системе в стационарном режиме. Приведены примеры. Для частных случаев полученные результаты совпадают с имеющимися в литературе.

Системы нелинейных обратных и прямых уравнений Колмогорова, обобщенные решения

В работе развит вероятностный подход к построению решения задачи Коши для систем нелинейных параболических уравнений. Рассматриваемые системы можно разбить на два класса, причем системы первого класса после несложного преобразования можно трактовать как системы обратных нелинейных уравнений Колмогорова, а системы второго класса интерпретируются как системы прямых нелинейных уравнений Колмогорова. Выбор соответствующей интерпретации позволяет построить стохастическую модель в терминах стохастического уравнения с коэффициентами, зависящими от решения рассматриваемой задачи Коши и замыкающего соотношения, соответствующего вероятностному представлению этого решения.

О распределении времени окончательного ухода гауссовского процесса под медленно растущую линейную границу

В статье доказывается предельная теорема о сходимости распределения нормированного времени окончательного ухода стационарного гауссовского процесса под медленно растущую линейную границу к двойному экспоненциальному распределению.

Optimal stopping, randomized stopping and singular control with general information flow

В этой статье мы преследуем двоякую цель. Во-первых, мы распространяем хорошо известное соотношение между оптимальной остановкой и рандомизированной остановкой заданного случайного процесса на ситуацию, когда доступный поток информации - это фильтрация, которая априори не предполагается как-либо связанной с фильтрацией случайного процесса. В этом случае мы говорим об оптимальной остановке и рандомизированной остановке при общем потоке информации. Во-вторых, следуя идее Н. В. Крылова (1977), мы вводим специальную задачу сингулярного стохастического управления с общей информацией и показываем, что она эквивалентна задачам оптимального управления и рандомизированного управления с частичной информацией. Далее мы показываем, что решение указанной задачи сингулярного управления может быть выражено в терминах вариационных неравенств для частичной информации.

Уравнения Колмогорова для скачкообразных марковских процессов и их применения в задачах управления

В статье описывается структура решений уравнений Колмогорова для неоднородных скачкообразных марковских процессов и обсуждаются применения этих результатов в задачах управления стохастическими системами со скачками. Такие уравнения рассматривались В. Феллером (1940 г.), который позднее (в 1945 г.) уточнил, что некоторые его результаты верны лишь для невзрывающихся процессов. В настоящей работе, во многом носящей обзорный характер, рассматривается и случай взрывающихся процессов. Статья основана на результатах, представленных авторами на конференции "П. Л. Чебышeв - 200", и опирается на их совместные исследования с Манасой Мандава (1984-2019).

A path formula for the sock sorting problem

Допустим, что в сушильном барабане находятся $n$ различных пар носков. По окончании сушки носки выкладываются на стол один за другим. Если очередной вынутый носок оказывается из той же пары, что и один из лежащих на столе, то пара убирается, если нет, то носок остается на столе до тех пор, пока из сушки не появится носок из его пары. Каждый раз, когда один из $2n$ носков выкладывается на стол, мы записываем число носков, остающихся на столе. В работе получена явная формула для вероятности события, состоящего в том, что полученная последовательность совпадает с заданной последовательностью длины $2n$.