РЕКУРЕНТНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ ЧИСЛА НЕІЗОМОРФНИХ (n,m)-ГРАФІВ

Задача перерахування графів та підрахунку їх числа включає задачі перерахування та підрахунку числа помічених і числа непомічених графів. Друга з них вважається більш складною. Виділяють також задачі перерахування графів спеціального виду. Наприклад, помічених звичайних неорієнтованих графів, помічених звичайних орієнтованих графів, помічених зв’язних неорієнтованих графів, помічених дерев, непомічених гусениць та інших. Класичним результатом щодо перерахування графів вважають теорему Редфілда-Пойї, яка випливає з леми Бернсайда. Граф G з n вершинами та m ребрами називають n,m -графом. Два n,m -графа називаються ізоморфними, якщо існує бієкція між множинами вершин, яка зберігає їх суміжність. Ця стаття присвячена задачі підрахунку числа T n,m неізоморфних звичайних n,m -графів з використанням поняття вектора степенів графа. Вектор степенів графа є його неповним інваріантом відносноі изоморфізмів. Послідовності чисел T n,m для n ≤ 20 можна знайти в Online енциклопедії цілочислових послідовностей під номером A008406. У цій статті досліджено властивості вказаної таблиці, одна з яких демонструє залежність між кількостями всіх попарно неізоморфних графів з m ребрами та кількостями вершин, що відрізняються на один. Показано, що коли в сукупності всіх попарно неізоморфних n,m -графів присутній граф з вектором степенів (1,1,…,1), то n = 2m . Отримано рекурентні співвідношення, що дозволили знайти деякі не наведені в таблиці кількості неізоморфних графів з n вершинами та m ребрами при n > 20 . Для доведення рекурентних співвідношень введено поняття редукції вектора степенів графа (Р-перетворення). За допомогою Р-перетворення досліджено зв’язок між наборами попарно неізоморфних графів з однаковими кількостями ребер та різними кількостями вершин. Для підтвердження отриманих результатів була використана відома формула Харарі для знаходження числа неізоморфних звичайних графів.

ЙМОВІРНІСТЬ: ВІД ПОЛІНОМІВ ЕРМІТА ДО КВАДРАТУРИ ГАУССА

Стаття присвячена використанню ймовірнісних моделей у неймовірнісних задачах. Нові приклади, що наведені в роботі, допоможуть збільшити кількість прихильників рандомізації в математичному моделюванні. Розглядаються задачі відновлення фінітних функцій (функції-«кришки», функції Ерміта), які дуже поширені в методі скінченних елементів (МСЕ). Функція-«кришка» – це інша назва барицентричної координати, запропонованої Мьобіусом. На відміну від інтерполяції за Лагранжем, інтерполяція за Ермітом передбачає наявність у вершинах контрольного інтервалу інформації про функцію та її похідну. Зростаючі поліноми Ерміта на канонічних інтервалах [0; 1] і [-1; 1] розглядаються як функції розподілу ймовірностей. Порівнюються два методи побудови поліномів Ерміта: традиційний (матричний) і нетрадиційний (ймовірнісний). Показано, що щільність і середнє квадратичне відхилення закону розподілу ймовірностей Ерміта мають тісний зв’язок із формулами наближеного інтегрування (квадратурами) підвищеної точності: Гаусса- Бернуллі (два вузли на [0; 1]), Гаусса-Лежандра (два вузли на [-1; 1]), Гаусса-Лобатто (для чотирьох вузлів). Ці результати свідчать про наявність «зворотного руху» ідей і методів із теорії ймовірностей в інші математичні науки. На гостру необхідність «зворотного руху» неодноразово звертав увагу видатний український науковець, фахівець з теорії ймовірностей і випадкових процесів академік А.В. Скороход. Дуже важливо, щоб «зворотний рух» підтримували усі математики, як «ймовірнісники», так і «неймовірнісники» (термін А.В. Скорохода). Отримані результати вже не вперше переконують, що геометрична ймовірність – це простий, наочний і дуже ефективний метод математичного моделювання. Не дивно, що сучасні інформаційні технології починаються з когнітивних моделей прикладної геометрії. Такі моделі, як правило, математично обґрунтовані і фізично адекватні.

ЧИСТИЙ ЗГИН СМУГИ (БАЛКИ) ІЗ ДВОМА СПІВВІСНИМИ ТРІЩИНАМИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИМИ ДО ЇЇ ОСІ, ОДНА З ЯКИХ ЗНАХОДИТЬСЯ В ЗОНІ СТИСКАЛЬНИХ НАПРУЖЕНЬ

У роботі досліджена задача про чистий згин зосередженою смуги (балки) з двома співвісними наскрізними тріщинами різної довжини, береги яких вільні від зовнішнього навантаження. Тріщини перпендикулярні до осі балки, причому одна з тріщин частково знаходиться в зоні стискальних напружень, так що її береги частково гладко контактують, тобто в області контакту берегів тріщини має місце рівність контактних напружень та відповідних компонент переміщень, а дотичні напруження рівні нулю. Друга тріщина перебуває в зоні розтягувальних напружень. Використовуючи методи теорії функцій комплексної змінної та комплексні потенціали двовимірної теорії пружності, розв’язок задачі зведено до задач лінійного спряження, отримано явний вигляд для комплексних потенціалів та коефіцієнтів інтенсивності напружень. Записано рівняння для знаходження параметра, за допомогою якого визначають довжину області контакту берегів тріщини. На основі енергетичного критерію руйнування знайдено критичне значення згинального моменту, при якому смуга (балка) зруйнується. Проведено числовий аналіз задачі, з якого випливає, що при наближенні неконтактуючої тріщини до контактуючої область контакту останньої зменшується, а при її віддаленні наближається до області контакту для одинокої контактуючої тріщини, одна вершина якої знаходиться в зоні стискальних напружень балки, а інша – в зоні розтягувальних напружень. Зауважимо, що руйнування балки може відбуватися як з вершини контактуючої тріщини, яка знаходиться в зоні розтягувальних напружень балки, так і з вершини неконтактуючої тріщини залежно від її положення і розмірів. При цьому повністю контактуюча тріщина не впливає на напружено- деформований стан балки.

АНТИПЛОСКА ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМІРНОГО П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНОГО КВАЗІКРИСТАЛА З МІЖФАЗНОЮ ТРІЩИНОЮ

Розглянуто тунельну тріщину вздовж межі розділу двох зчеплених одновимірних п’єзоелектричних квазікристалічних півпросторів. Досліджуються провідні електричні умови на берегах тріщини. Вважається, що розташування атомів є періодичним у площині, перпендикулярній фронту тріщини та квазіперіодичним у напрямі фронту, причому остання вісь співпадає з напрямком поляризації матеріалів. Рівномірно розподілені антиплоскі фононні та фазонні зсувні напруження та електричне поле в площині, перпендикулярній фронту тріщини, задані на нескінченності. Побудовані матрично-векторні представлення для фононних та фазонних напружень та електричного поля, а також для похідних від стрибка фононних та фазонних переміщень та електричного зміщення через вектор-функцію, голоморфну у всій комплексній площині, за винятком області тріщин. Задовольняючи з використанням цих представлень умовам на берегах тріщини, формулюється задача лінійного спряження Рімана-Гільберта з відповідними умовами на нескінченності та будується аналітичний розв’язок цієї задачі. Аналізуючи цей розв’язок, отримали аналітичні вирази для фононних та фазоних напружень та стрибків переміщень уздовж межі поділу матеріалів. Показано, що отриманий розв’язок має осцилюючу кореневу сингулярність біля вершин тріщини. Важливо, що ця особливість не призводить до взаємного проникнення берегів тріщини, як у плоскому випадку. До того ж області осцилляції є дуже малими, тому отримані розв’язки є прийнятними для практичного використання. Чисельний аналіз проведений для комбінації різних квазікристалічних з’єднань. Результати отримані для фононних та фазонних компонент пружно-деформівного стану вздовж межі поділу матеріалів і представлені в графічній формі. Зроблені висновки стосовно зміни фононних та фазонних характеристик на межі поділу матеріалів залежно від зовнішніх навантажень та геометричних факторів.

ФУНКЦІОНАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗРОБКИ ІНТЕГРОВАНИХ МОДУЛЬНИХ СИСТЕМ АВІОНІКИ

Розвиток сучасних систем авіоніки робить проектування таких систем неможливим без використання засобів автоматизації. У даний час область таких інструментів представлена запатентованими інструментами, розробленими такими великими виробниками літаків, як Boeing та Airbus, а також низкою відкритих або частково відкритих міжнародних проектів, що відрізняються за термінами дії, наявністю вихідного коду та документації. Eсі інструменти базуються на архітектурних моделях розробленої системи. У цій статті розглядаються мови, доступні для опису архітектурних моделей систем авіоніки, та показано, яка мова програмування є найбільш підходящою через її текстові позначення та вбудовані концепції, які добре підходять для представлення більшості елементів вбудованих систем. Потім у статті представлено набір інструментів для проектування сучасних систем авіоніки. Набір інструментів забезпечує як загальну платформу для проектування та аналізу архітектурних моделей, так і спеціалізоване рішення для певної галузі систем авіоніки. Він підтримує створення, редагування та маніпулювання моделями як у текстовому, так і в графічному форматах. Зауважімо, що саме архітектурні моделі, що описують компоненти системи і взаємозв'язок між ними, стають основою для формування нових технологій і інструментів для автоматизації проектування. Вони дозволяють описувати різні аспекти архітектури в єдиній формалізованої моделі, яку можна обробляти різними інструментами для перевірки внутрішньої узгодженості архітектури, відповідності різним вимогам системи, автоматизації проектних рішень, генерації даних і файлів конфігурації, вихідний код і т.д. Складність сучасних авіаційних систем і високі вимоги до їх надійності призводять до необхідності використання загальних ресурсів. Під час створення IMA-систем розробники стикаються з низкою завдань і проблем, з якими вони раніше не стикалися. Для вирішення цих проблем на допомогу приходять різні засоби автоматизації і комп’ютерна підтримка розробки. Розвиток цього напрямку в першу чергу пов’язано з використанням різних моделей, в тому числі архітектурних моделей програмно- апаратних комплексів.

ВИЗНАЧЕННЯ ПРУЖНИХ СТАЛИХ КОМПОЗИЦІЙНОГО МАТЕРІАЛУ ІЗ СУЦІЛЬНИМИ ТА ПОРОЖНИСТИМИ ОДНАКОВОСПРЯМОВАНИМИ ВОЛОКНАМИ

У статті представлено підходи до визначення ефективних механічних характеристик композиційного матеріалу, армованого суцільними та порожнистими волокнами за допомогою методу представницького об’ємного елементу. Матеріали матриці та волокна вважалися транстропними. Взаємне розташування суцільних та порожнистих волокон є періодичним при загальній гексагональній схемі армування. Для визначення ефективних пружних характеристик композиційного матеріалу, що містить області з двома типами волокон, використано подвійну гомогенізацію. Увесь об’єм композиту розділяється на систему гексагональних областей, з яких можна виділити два типи. Перший – це суцільне волокно із оточуючою його матрицею, другий – порожнисте волокно із оточуючою його матрицею. Для попередньої гомогенізації кожного типу неоднорідної області скористаємося методом представницького об’ємного елементу. В результаті маємо гомогенізовані області, що складаються із гексагональних комірок двох типів, кожна з яких є транстропною. Площини ізотропії для обох областей співпадають. Враховуючи періодичний характер армування, гомогенізовані області із суцільними волокнами можемо представити за умовне волокно, а гомогенізовані області із порожнистими волокнами – за умовну матрицю. Маємо неоднорідний матеріал з умовними транстропними матрицею та волокном. Для неоднорідного матеріалу, що складається із гомогенізованих областей, проводимо повторну гомогенізацію методом представницького об’ємного елементу. В результаті отримаємо транстропні ефективні пружні сталі композиційного матеріалу, армованого системою суцільних та порожнистих волокон. За допомогою представленого підходу проведено розрахунок ефективних пружних сталих однаковоспрямованого композиційного матеріалу на основі поліефірної смоли, армованого порожнистими та суцільними скловолокнами. Проведено аналіз залежностей для деяких ефективних пружних сталих від об’ємного вмісту порожнини у волокні.

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ВЗАЄМОДІЇ СОЛІТОННОЇ ХВИЛІ ІЗ ЗАНУРЕНИМИ ПЕРЕШКОДАМИ

Чисельно досліджується поширення солітонної хвилі в каналі, на дні якого встановлено занурену перешкоду. Ця проблема тісно пов’язана з експлуатацією захисних споруд для розсіювання енергії хвиль у природних водоймах. Розвинена модель поєднує метод граничних інтегральних рівнянь, що застосовується для визначення деформацій вільної поверхні, і вихрову схему для розрахунку вихрового поля, яке генерується хвилею. Для її валідації залучені дані аналогічних експериментальних досліджень, що проводилися в гідравлічному лотку Інституту гідромеханіки. Збіг експериментальних та чисельних результатів щодо еволюції вільної поверхні вказує на те, що запропонована теоретична модель адекватно описує параметри як прохідної, так і відбитої хвиль, які утворюються над зануреною перешкодою. Виконані розрахунки поширення солітонної хвилі над зануреними вертикальними бар’єрами різної висоти та довжини. З їхніх результатів випливає, що тип взаємодії солітонної хвилі з бар’єром залежить від коефіцієнту, який є відношенням амплітуди падаючої хвилі до товщини стовпа води над перешкодою. Коли його значення менше за критичне, яке становить приблизно 1, падаюча хвиля м’яко поділяється на відбитий та прохідний солітони. В іншому разі вона руйнується, що викликає хаотичні коливання вільної поверхні. Детальне дослідження вихрової течії, яка генерується солітонною хвилею поблизу бар’єру, виявило в цій області два великих протилежно спрямованих вихори, що послідовно утворюються на вершині бар’єру. Взаємодіючи з перешкодою та дном каналу, вони зростають до розмірів, співставних з глибиною води, та відриваються. Один із них рухається за течією, інший – проти неї. Ці вихори визначають розвиток течій та інтенсивність турбулентних процесів поблизу перешкоди. Отримано, що вплив вихрового поля на стійкість зануреної конструкції залежить від її висоти. Коли бар’єр високий, вихори піднімаються і зносяться супутньою течією. У разі низької перешкоди вихровий потік дисипує поблизу неї, спричиняючи ерозію дна в цій області.

РОЗВ’ЯЗОК КОНТАКТНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ ПОПЕРЕДНЬО НАПРУЖЕНИХ ЦИЛІНДРИЧНОГО ШТАМПА ТА ШАРУ, ЩО ЛЕЖИТЬ БЕЗ ТЕРТЯ НА ОСНОВІ БЕЗ ПОЧАТКОВИХ НАПРУЖЕНЬ

Стаття присвячена розв’язку контактної задачі для попередньо напруженого циліндричного штампа та шару з початковими напруженнями. Шар лежить без тертя на основі без початкових напружень. Задачу розв’язано у випадку нерівних коренів визначального рівняння. Дослідження представлено у загальному виді для теорії великих початкових деформацій і двох варіантів теорії малих початкових деформацій у межах лінеаризованої теорії пружності при довільній структурі пружного потенціалу. Припускається, що початкові стани пружного циліндричного штампа, пружного шару та основи однорідні та рівні. Дослідження проводиться в координатах початкового деформованого стану, які пов’язані з лагранжевими координатами (природного стану). Крім того, вплив циліндричного штампа викликає невеликі збурення відповідних величин основного напружено-деформованого стану. Також передбачається, що пружний циліндричний штамп та пружний шар виготовлені з різних ізотропних, трансверсально-ізотропних або композитних матеріалів. Наведені загальні розв’язки основних диференціальних рівнянь лінеаризованої теорії пружності у випадку осесиметричної деформації для скінченної циліндричної області. У результаті розв’язки поставленої задачі представлені у вигляді нескінченних рядів, коефіцієнти яких визначаються з нескінченної квазірегулярної системи алгебраїчних рівнянь. Вивчено вплив початкових (залишкових) напружень у шарі, циліндрі та основі на розподіл контактних напружень в області контакту. У випадку нерівних коренів для хімічно активної гуми СКУ-6 та потенціалу Трелоара (тіло неогуківського типу) наведено результати чисельного аналізу, що подані у вигляді графіків, які ілюструють достатньо значний вплив початкових напружень. Отже, вплив початкових напружень на напружено- деформований стан пружного циліндра, що втискається у пружний шар, який лежить без тертя на основі без початкових напружень, полягає в тому, що: початкові напруження в шарі призводять у випадку стиснення до зменшення напружень у пружному штампі, а у випадку розтягу – до їх збільшення, а для переміщень – навпаки.

ВЗАЄМОДІЯ ДВОХ ШТАМПІВ ІЗ РІЗНИМИ УМОВАМИ КОНТАКТУ НА ГРАНИЦІ ІЗОТРОПНОЇ ПІВПЛОЩИНИ

Розглянуто проблему взаємодії двох штампів із плоскими підошвами, що взаємодіють з пружною ізотропною півплощиною. Вважається, що один штамп жорстко зчеплений із півплощиною, а другий знаходиться з нею в умовах гладкого контакту. Для розв’язання задачі використовуються представлення Колосова-Мусхелішвілі напружень і переміщень через кусково-аналітичні функції. Із використанням цих представлень і на основі граничних умов сформульовано задачу лінійного спряження, яка складається із комбінації рівнянь Діріхле і Рімана, записаних на відповідних ділянках границі півплощини. Ця задача називається комбінованою крайовою задачею Діріхле-Рімана. Розв’язок задачі представлено, використовуючи два канонічні розв’язки з необхідною поведінкою при підході до кутових точок штампів. Невідомі коефіцієнти цього розв’язку знаходяться з умов на нескінченності та умов рівноваги штампів із трансцендентного рівняння, коефіцієнти якого знаходяться шляхом чисельного інтегрування. Знайдений розв’язок дозволив представити усі необхідні фактори на границі півплощини в досить простому аналітичному вигляді. Зокрема, знайдено формули, що дають можливість знайти осадку кожного штампу та форму вільної границі півплощини після деформації. Записано також формули, що визначають розподіл напружень під штампами. Показано, що розв’язок біля кутових точок жорстко зчепленого штампа має осцилюючу кореневу особливість, а біля кутових точок гладкого штампу – звичайну кореневу. Для конкретних значень ширини штампів, відстаней між ними та величин зовнішнього навантаження одержано числові результати, які проілюстровано графічно. Побудовано графіки зміни переміщень границі півплощини біля штампів, а також графіки зміни нормального та дотичного напружень під зчепленим штампом і тільки нормального – під гладким. Виявлено, що зона затухання переміщень при віддаленні від штампів суттєво перевищує їхню ширину.

РОЗВ’ЯЗАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ФРЕДГОЛЬМА ІІ РОДУ З ВИКОРИСТАННЯМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ЕВОЛЮЦІЇ

У статті розглядається лінійне інтегральне рівняння Фредгольма ІІ роду з невиродженим ядром. Наводиться огляд методів знаходження його наближених розв’язків. Вивчається випадок, коли за наближений розв’язок рівняння вибирається функція, що лінійно залежить від низки вільних параметрів. Оптимальні значення цих параметрів пропонується визначати з умови мінімуму відповідної норми інтегральної нев’язки, яка утворюється після підстановки вказаної функції в рівняння. У свою чергу, задача мінімізації норми нев’язки розглядається як оптимізаційна задача, і для її розв’язання використовується алгоритм диференціальної еволюції, призначений для пошуку глобального мінімуму (максимуму) функцій багатьох змінних. У цьому алгоритмі для популяції векторів, які представляють собою можливі розв’язки задачі мінімізації, моделюються базові процеси біологічної еволюції: схрещування, мутація та селекція, щоб сформувати наступну популяцію векторів, значення цільової функції (критерію мінімізації) яких будуть меншими, ніж у векторів попередньої популяції. Умовою закінчення алгоритму є досягнення заданого максимального числа популяцій. Координати вектора останньої популяції, який має найменше значення цільової функції, є оптимальними значеннями параметрів наближеного розв’язку. Алгоритм простий у програмній реалізації та застосуванні (містить мало параметрів налаштування), дозволяє використовувати різні норми інтегральної нев’язки (квадратичну, рівномірну, суму модулів значень нев’язки). Схема запропонованого алгоритму модифікована порівняно зі стандартною і не містить операції схрещування. Це дозволило спростити алгоритм без шкоди для точності отриманих результатів. Як показав обчислювальний експеримент, для знаходження оптимальних значень параметрів цілком достатньо операцій мутації та селекції. Алгоритм імплементований у системі Matlab. Розглядаються приклади знаходження наближених розв’язків з використанням розробленого алгоритму, який можна розглядати як додатковий інструмент до відомих проекційних методів розв’язання рівнянь Фредгольма.