Distance-Regular Graph with Iintersection Array {140,108,18;1,18,105} Does not Exist

Графом Шилла называется дистанционно регулярный граф $\Gamma$ диаметра 3, имеющий второе собственное значение $\theta_1$, равное $a=a_3$. В этом случае $a$ делит $k$ и полагают $b=b(\Gamma)=k/a$. Юришич и Видали нашли массивы пересечений $Q$-полиномиальных графов Шилла с $b_2=c_2$: $\{2rt(2r+1),(2r-1)(2rt+t+1),r(r+t);1,r(r+t),t(4r^2-1)\}$. Однако многие массивы из этой серии не являются допустимыми. Белоусов И. Н. и Махнев А. А. нашли новую бесконечную серию допустимых массивов пересечений $Q$-полиномиальных графов Шилла с $b_2=c_2$ ($t=2r^2-1$): $\{2r(2r^2-1)(2r+1),(2r-1)(2r(2r^2-1)+2r^2),r(2r^2+r-1);1,r(2r^2+r-1),(2r^2-1)(4r^2-1)\}$. При $r=2$ получим массив пересечений $\{140,108,18;1,18,105\}$. В работе доказано, что граф с таким массивом пересечений не существует.