Локальные гранд пространства Лебега

We introduce ``local grand'' Lebesgue spaces $L^{p),\theta}_{x_0,a}(\Omega)$, $0<p<\infty,$ $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$, where the process of ``grandization'' relates to a single point $x_0\in \Omega$, contrast to the case of usual known grand spaces $L^{p),\theta}(\Omega)$, where ``grandization'' relates to all the points of $\Omega$. We define the space $L^{p),\theta}_{x_0,a}(\Omega)$ by means of the weight $a(|x-x_0|)^{\varepsilon p}$ with small exponent, $a(0)=0$. Under some rather wide assumptions on the choice of the local ``grandizer'' $a(t)$, we prove some properties of these spaces including their equivalence under different choices of the grandizers $a(t)$ and show that the maximal, singular and Hardy operators preserve such a ``single-point grandization'' of Lebesgue spaces $L^p(\Omega)$, $1<p<\infty$, provided that the lower Matuszewska--Orlicz index of the function $a$ is positive. A Sobolev-type theorem is also proved in local grand spaces under the same condition on the grandizer.

Distance-Regular Graphs with Intersection Arrays {7,6,6;1,1,2} and {42,30,2;1,10,36} Do not Exist

Пусть $\Gamma$ - дистанционно регулярный граф диаметра 3 без треугольников, $u$ - вершина графа $\Gamma$, $\Delta^i=\Gamma_i(u)$ и $\Sigma^i=\Delta^i_{2,3}$. Тогда $\Sigma^i$ - регулярный граф без 3-коклик степени $k'=k_i-a_i-1$ на $v'=k_i$ вершинах. Заметим, что для несмежных вершин $y,z\in \Sigma^i$ имеем $\Sigma^i=\{y,z\}\cup \Sigma^i(y)\cup \Sigma^i(z)$. Поэтому для $\mu'=|\Sigma^i(y)\cap \Sigma^i(z)|$ имеем равенство $v'=2k'+2-\mu'$. Отсюда граф $\Sigma$ является кореберно регулярным с параметрами $(v',k',\mu')$. В работе доказано, что дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ не существует. В статье М. С. Нировой "On distance-regular graphs with $\theta_2=-1$" показано, что если существует сильно регулярный граф с параметрами $(176,49,12,14)$, в котором окрестности вершин являются $7\times 7$-решетками, то существует и дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$. М.~П. Голубятников заметил, что для дистанционно регулярного графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ граф $\Gamma_2$ является дистанционно регулярным с массивом пересечений $\{42,30,2;1,10,36\}$. С помощью этого результата и вычисления тройных чисел пересечений доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ и $\{42,30,2;1,10,36\}$ не существуют.

Almost Convergent 0-1-Sequences and Primes

В статье изучаются последовательности из нулей и единиц. Устанавливается связь между значениями верхнего и нижнего функционалов Сачестона на такой последовательности и множеством всевозможных делителей элементов, входящих в носитель такой последовательности. Если объединение множеств всех простых делителей чисел из носителя некоторой последовательности из нулей и единиц конечно, то такая последовательность почти сходится к нулю. Изучаются такие последовательности из нулей и единиц, носитель которых в точности состоит из чисел, кратных элементам некоторого заданного множества, и устанавливаются необходимые и достаточные условия для обращения в единицу верхнего функционала Сачестона на такой последовательности. Доказывается, что существует бесконечно много таких последовательностей, на которых нижний функционал Сачестона принимает значение 1, при этом в нуль нижний функционал Сачестона ни на одной такой последовательности не обращается.

Топологическая унифицированная (r,s)-энтропия непрерывных отображений в квазиметрических пространствах

The category of metric spaces is a subcategory of quasi-metric spaces. It is shown that the entropy of a map when symmetric properties is included is greater or equal to the entropy in the case that the symmetric property of the space is not considered. The topological entropy and Shannon entropy have similar properties such as nonnegativity, subadditivity and conditioning reduces entropy. In other words, topological entropy is supposed as the extension of classical entropy in dynamical systems. In the recent decade, different extensions of Shannon entropy have been introduced. One of them which generalizes many classical entropies is unified $(r,s)$-entropy. In this paper, we extend the notion of unified $(r, s)$-entropy for the continuous maps of a quasi-metric space via spanning and separated sets. Moreover, we survey unified $(r, s)$-entropy of a map for two metric spaces that are associated with a given quasi-metric space and compare unified $(r, s)$-entropy of a map of a given quasi-metric space and the maps of its associated metric spaces. Finally we define Tsallis topological entropy for the continuous map on a quasi-metric space via Bowen's definition and analyze some properties such as chain rule.

Одно замечание о периодических кольцах

We obtain a new and non-trivial characterization of periodic rings (that are those rings $R$ for which, for each element $x$ in $R$, there exists two different integers $m$, $n$ strictly greater than $1$ with the property $x^m=x^n$) in terms of nilpotent elements which supplies recent results in this subject by Cui--Danchev published in (J. Algebra \& Appl., 2020) and by Abyzov--Tapkin published in (J. Algebra \& Appl., 2022). Concretely, we state and prove the slightly surprising fact that an arbitrary ring $R$ is periodic if, and only if, for every element~$x$ from $R$, there are integers $m>1$ and $n>1$ with $m\not= n$ such that the difference $x^m-x^n$ is a nilpotent.

On Weakly Supplemented Carpets of Lie Type over Commutative Rings

Рассматриваются связи двух гипотетических условий замкнутости ковров лиева типа над коммутативными кольцами. Результаты А. К. Гутновой и В. А. Койбаева (Вестник СПбГУ, Математика. Механика. Астрономия, 2020 г.) о разделении классов слабо дополняемых и дополняемых матричных ковров над полями характеристики 0 и 2 перенесены на ковры любого лиева типа над коммутативными кольцами четной характеристики. Установлено, что эти классы ковров разделяют также примеры неприводимых замкнутых ковров типа $B_l$ и $C_l$ над несовершенными полями характеристики 2, параметризуемые двумя аддитивными подгруппами, которые построены в работе Я. Н. Нужина и А. В. Степанова (Алгебра и анализ, 2019 г.) для получения нестандартных групп между группами Шевалле над полем и его подполем.

Плюригармонические определимые функции в некоторых $o$-минимальных расширениях вещественного поля

In this paper, we first try to solve the following problem: If a pluriharmonic function $f$ is definable in an arbitrary o-minimal expansion of the structure of the real field $\overline{\mathbb{R}}:=(\mathbb{R},+,-,.,0,1,<)$, does this function be locally the real part of a holomorphic function which is definable in the same expansion? In Proposition 2.1 below, we prove that this problem has a positive answer if the Weierstrass division theorem holds true for the system of the rings of real analytic definable germs at the origin of $\mathbb{R}^n$. We obtain the same answer for an o-minimal expansion of the real field which is pfaffian closed (Proposition 2.6) for the harmonic functions. In the last section, we are going to show that the Weierstrass division theorem does not hold true for the rings of germs of real analytic functions at $0\in\mathbb{R}^n$ which are definable in the o-minimal structure $(\overline{\mathbb{R}}, x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_p})$, here $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ are irrational real numbers.

Existence of Weakly Periodic Gibbs Measures for the Ising Model on the Cayley Tree of Order Three

Одна из основных проблем для гамильтониана модели Изинга~--- это описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса. Известно, что для модели Изинга такие меры образуют непустое выпуклое компактное подмножество в множестве всех вероятностных мер. Задача полного описания элементов этого множества далека от своего завершения. Для модели Изинга на дереве Кэли порядка три были изучены трансляционно-инвариантные и периодические меры Гиббса, но слабо периодические меры Гиббса не были изучены. Отметим, что всякая периодическая мера Гиббса также является слабо периодической, но обратное неверно. Поэтому интересно изучать слабо периодические меры Гиббса, не являющиеся периодическими. Работа посвящена изучению слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три ($k=3$). Известно, что слабо периодическая мера Гиббса для модели Изинга зависеть от выбора нормального делителя группового представления дерева Кэли. В данной работе рассматривается один из нормальных делителей индекса четыре группового представления дерева Кэли. Относительно этого нормального делителя доказано существование слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три. Точнее, доказано, что при некоторых условиях на параметры существуют не менее 4 слабо периодических (не периодических) мер Гиббса.

Quasi-Two-Dimensional Coefficient Inverse Problem for the Wave Equation in a Weakly Horizontally Inhomogeneous Medium with Memory

В работе представлена обратная задача последовательного определения двух неизвестных - коэффициента, характеризующего свойства среды со слабо горизонтальной неоднородностью, и ядра интегрального оператора, описывающего память среды. Прямая начально-краевая задача содержит нулевые данные и граничное условие Неймана. В качестве дополнительной информации задается след на границе среды Фурье-образа решения прямой задачи. Для исследования обратных задач предполагается, что искомый коэффициент разлагается в асимптотический ряд по степеням малого параметра. В статье построен метод нахождения (с учетом памяти среды) коэффициента с точностью до поправки, имеющей порядок $O(\epsilon^2)$. На первом этапе одновременно определяется решение прямой задачи в нулевом приближении и ядро интегрального оператора, при этом обратная задача сводится к эквивалентной задаче решения системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. На втором этапе ядро считается заданным, и одновременно определяется решение прямой задачи в первом приближении и искомый коэффициент. В этом случае решение эквивалентной обратной задачи будет решением линейной системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Доказаны теоремы однозначной локальной разрешимости поставленных обратных задач. Приведены результаты численных расчетов функции ядра и коэффциента.

Ограниченные ортоморфизмы между локально солидными векторными решетками

The main aim of the present note is to consider bounded orthomorphisms between locally solid vector lattices. We establish a version of the remarkable Zannen theorem regarding equivalence between orthomorphisms and the underlying vector lattice for the case of all bounded orthomomorphisms. Furthermore, we investigate topological and ordered structures for these classes of orthomorphisms, as well. In particular, we show that each class of bounded orthomorphisms possesses the Levi or the $AM$-properties if and only if so is the underlying locally solid vector lattice. Moreover, we establish a similar result for the Lebesgue property, as well.