Distance-Regular Graphs with Intersection Arrays {7,6,6;1,1,2} and {42,30,2;1,10,36} Do not Exist

Пусть $\Gamma$ - дистанционно регулярный граф диаметра 3 без треугольников, $u$ - вершина графа $\Gamma$, $\Delta^i=\Gamma_i(u)$ и $\Sigma^i=\Delta^i_{2,3}$. Тогда $\Sigma^i$ - регулярный граф без 3-коклик степени $k'=k_i-a_i-1$ на $v'=k_i$ вершинах. Заметим, что для несмежных вершин $y,z\in \Sigma^i$ имеем $\Sigma^i=\{y,z\}\cup \Sigma^i(y)\cup \Sigma^i(z)$. Поэтому для $\mu'=|\Sigma^i(y)\cap \Sigma^i(z)|$ имеем равенство $v'=2k'+2-\mu'$. Отсюда граф $\Sigma$ является кореберно регулярным с параметрами $(v',k',\mu')$. В работе доказано, что дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ не существует. В статье М. С. Нировой "On distance-regular graphs with $\theta_2=-1$" показано, что если существует сильно регулярный граф с параметрами $(176,49,12,14)$, в котором окрестности вершин являются $7\times 7$-решетками, то существует и дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$. М.~П. Голубятников заметил, что для дистанционно регулярного графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ граф $\Gamma_2$ является дистанционно регулярным с массивом пересечений $\{42,30,2;1,10,36\}$. С помощью этого результата и вычисления тройных чисел пересечений доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ и $\{42,30,2;1,10,36\}$ не существуют.