Динамика кинк-солитонных решений $(2+1)$-мерного уравнения синус-Гордон

Изучается динамика явных решений двумерного уравнения синус-Гордон в $(2+1)$-мерном пространстве. Преобразование Дарбу применяется для решения соответствующей линейной задачи на собственные значения и построения нетривиальных решений двумерного уравнения синус-Гордон, которые выражаются как отношения детерминантов. Получено обобщенное выражение для $N$-кратно преобразованной динамической переменной, что позволяет вычислять явные выражения для нетривиальных решений. При исследовании динамики кинк-солитонных решений получены явные выражения одно- и двухсолитонных решений для конкретных столбцов решений. Различные профили взаимодействий кинк-кинк или кинк-антикинк проиллюстрированы для различных параметров и произвольных функций. Также представлено решение связанного состояния первого порядка.

Обратное преобразование рассеяния для нелокального нелинейного уравнения Шредингера с производной

С помощью метода обратной задачи рассеяния подробно обсуждается нелокальное нелинейное уравнение Шредингера с производной в случае нулевых граничных условий на бесконечности. Для прямой задачи рассеяния изучаются свойства аналитичности, симметрии, асимптотика решений Йоста и коэффициентов рассеяния, а также распределение точек дискретного спектра. Симметрии рассматриваемого уравнения приводят к тому, что дискретный спектр задачи рассеяния не такой, как для других уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера с производной. Обратная задача рассеяния решается методом матричной задачи Римана-Гильберта. Представлены формула реконструкции, следовая формула и явные решения. В случае безотражательного потенциала при частных значениях параметров получены солитонные решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера с производной, которые могут иметь особенности.

Общий вид нелинейного уравнения Шредингера пятого порядка с ненулевыми граничными условиями: обратная задача рассеяния и многосолитонные решения

Метод обратной задачи рассеяния применяется к нелинейному уравнению Шредингера пятого порядка с ненулевыми граничными условиями, которое сводится к нескольким интегрируемым уравнениям. Сначала систематически исследуется матричная задача Римана-Гильберта для нелинейного уравнения Шредингера пятого порядка с ненулевыми граничными условиями на бесконечности. Обратная задача решена с привлечением матричной задачи Римана-Гильберта. Строятся явные выражения для решений в виде безотражательных потенциалов. Приводятся формулы следа и тета-условия. В частности, дан анализ решений с полюсами первого и второго порядков для нелинейного уравнения Шредингера пятого порядка с ненулевыми граничными условиями. В заключение проводится обсуждение графиков, характеризующих динамику полученных решений. Представленные результаты полезны для объяснения нелинейных волновых явлений и для пополнения знаний о них в различных разделах нелинейной физики.

Динамика трехмерных магнитных структур в модели Гейзенберга

Исследована интегрируемость динамических уравнений Гейзенберга ($O(3)$-модели в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени), которые имеют многочисленные применения в теории поля и физике конденсированных сред. Использована дифференциальная подстановка, сводящая эти уравнения к одномерному уравнению синус-Гордон и системе из двух уравнений для комплекснозначной функции $S(\mathbf{r},t)$, которая однозначно определяет вектор $\mathbf{n}$. Доказано, что решение уравнений для этой функции сводится к решению системы четырех квазилинейных уравнений для вспомогательных полей. Получено их точное решение в виде неявной функции от двух переменных, которая определяет точные решения динамических уравнений Гейзенберга с учетом дифференциальных связей. В качестве примера описаны динамика плоского вихря в пространстве $\mathbb{R}^2$, структура типа "ежа" и новые динамические топологические структуры в пространстве $\mathbb{R}^3$.

Свободно-осцилляторная реализация полиномов Лагерра

Радиальный осциллятор рассматривается с точки зрения свободно-осцилляторной реализации. С использованием свободного осциллятора, а именно операторов рождения и уничтожения для гармонического осциллятора, построен оператор, который переводит собственные функции гармонического осциллятора в собственные функции радиального осциллятора. Как полиномиальная часть соотношения для собственных функций получается оператор, который переводит полиномы Эрмита в полиномы Лагерра.

О двух прямых предельных переходах от полиномов псевдо-Якоби к полиномам Эрмита и осциллятор псевдо-Якоби в однородном гравитационном поле

Представлены два новых предельных соотношения, которые позволяют непосредственно свести ортогональные полиномы псевдо-Якоби к полиномам Эрмита с несдвинутым и сдвинутым аргументами. Доказательства этих соотношений основаны на методе математической индукции. Полученные пределы открывают путь к изучению в терминах полиномов псевдо-Якоби новых точно решаемых моделей квантово-механических гармонических осцилляторов в однородном внешнем поле. В качестве приложения рассматривается модель линейного квантового осциллятора с зависящей от координаты массой во внешнем однородном гравитационном поле (осциллятор псевдо-Якоби во внешнем поле). Представлена обобщенная форма гамильтониана, описывающего квантово-механические системы с массой, зависящей от координаты.

Об интегрируемости суперсистемы четырех уравнений

Рассмотрена система четырех уравнений типа Камассы-Холма, которые зависят как от бозонных, так и от фермионных переменных. Показано, что эта система эквивалентна условию совместности двух линейных спектральных задач в форме Захарова-Шабата, и установлено, что она имеет бесконечное множество законов сохранения и бигамильтонову структуру.

Периодические меры Гиббса для модели Поттса с трансляционно-инвариантным и периодическим внешними полями на дереве Кэли

Изучается модель Поттса с трансляционно-инвариантным и периодическим внешними полями на дереве Кэли порядка $k\geq 2$. Для модели Поттса с трансляционно-инвариантным внешним полем при $k\geq 2$ показана неединственность трансляционно-инвариантной и периодической меры Гиббса. Доказано, что для модели Поттса с внешним полем, не являющимся трансляционно-инвариантным, на дереве Кэли порядка $k\geq 2$ не существуют трансляционно-инвариантные меры Гиббса. Также изучены периодические меры Гиббса для модели Поттса с периодическим внешним полем. Доказано, что при некоторых условиях количество таких мер может быть не менее трех.

Функциональные интегралы и свойства фазовой устойчивости в $O(N)$-модели конденсации векторного поля

С использованием конденсации вспомогательных бозонных полей на основе метода функционального интегрирования получено эффективное действие $O(N)$-модели бинарного векторного поля на сфере. При различных константах связи проанализированы две такие модели: на сфере $S^3$ и на сфере $S^d$. Для обеих моделей из соотношений для следов свободных пропагаторов получены условия сходимости статистической суммы. Из аналитических решений уравнений седловой точки выведены условия фазовой устойчивости, которые говорят о том, что если плотности конденсата комплексных бозонных полей и полей единичных векторов удовлетворяют определенным ограничениям, то в системе могут образоваться существующие одновременно конденсаты. Кроме того, на основе разложения свободной энергии по $1/N$ на сфере $S^d$ обнаружено, что абсолютное значение свободной энергии уменьшается при увеличении размерности сферы $d$.

Релаксирующие солитоны двухосного ферромагнетика

С помощью задачи Римана на торе получены и проанализированы новые аналитические решения модели Ландау-Лифшица, которые описывают нелинейную динамику солитонов двухосного ферромагнетика в поле диспергирующих спиновых волн. Показано, что нелинейная интерференция солитонов и волн приводит к неадиабатическим релаксационным колебаниям солитонов. Получены формулы, определяющие изменения частоты и скорости солитонов в поле излучения. Проанализированы столкновения релаксирующих солитонов на фоне спиновых волн.