Локальная предельная теорема для числа пустых ячеек при случайных равновероятных размещениях

Рассматривается классическая схема случайного равновероятного размещения $n$ частиц по $N$ ячейкам. Найдена асимптотика вероятности того, что число пустых ячеек равно $k$, если $n, N \to \infty$ так, что $n/(N - k)$ ограничено и отделено снизу от единицы.

Мощностные оценки множества корреляционно-иммунных булевых функций

Получены оценки мощности множества корреляционно-иммунных булевых функций фиксированного веса от заданного числа переменных.

О «древесной» структуре натуральных чисел

Существует естественный способ сопоставлять каждому натуральному числу определeнный граф в виде дерева. В настоящей работе мы исследуем средние значения числа рeбер, висячих вершин и высоты деревьев, соответствующих натуральным числам, не превосходящих данной величины.

Континуальность классов функций многозначной логики с минимальным логарифмическим темпом роста

Показано, что в многозначной логике существуют континуальное семейство попарно не сравнимых замкнутых классов функций с минимальным логарифмическим темпом роста и континуальная цепочка вложенных замкнутых классов функций с минимальным логарифмическим темпом роста. Отсюда выводится, что в любом классе сохранения подмножества существуют континуальная цепочка вложений и континуальное семейство таких попарно не сравнимых замкнутых классов функций, что ни один из них не вкладывается целиком ни в какой другой предполный класс.

Оценки длин ненулевых кратчайших векторов некоторых решеток. II

В 1988 году А. Фриз и др. получили нижние оценки длин ненулевых кратчайших векторов «почти всех» решеток некоторых семейств в случае размерности 3. В 2004 году автор получил аналогичный результат для размерности 4. В настоящей работе, являющейся продолжением исследований первой части и использующей полученные в ней результаты, показано, что рассматриваемые оценки выполняются и в случае размерности 5.

О существовании нелинейных инвариантов специального вида для раундовых преобразований XSL-алгоритмов

Изучаются нелинейные инварианты раундовых преобразований XSL-алгоритмов, которые могут быть найдены с помощью подхода, предложенного на конференции ASIACRYPT 2016. На основе результатов о группах инерции функций, допускающих декомпозицию, выявлены условия на $s$-боксы и матрицы XSL-алгоритмов, необходимые для существования таких инвариантов. Показано, что для ряда алгоритмов блочного шифрования эти условия не выполнены.

Обратимые матрицы над некоторыми факторкольцами: идентификация, построение и анализ

Исследуются матрицы над факторкольцами кольца многочленов от одной переменной над полем из двух элементов. Найдены нижние оценки доли обратимых матриц среди всех таких матриц заданного размера. Предложен и проанализирован эффективный алгоритм вычисления определителя матриц над указанными факторкольцами, а также алгоритм построения случайных обратимых матриц (с равномерным распределением на множестве всех обратимых матриц). Рассмотрен и проанализирован эффективный вариант последнего алгоритма для факторколец по модулю многочленов вида $x^r - 1$. Эти алгоритмы могут найти практическое применение при генерации ключей криптосхем на базе квазициклических кодов, например, LEDAcrypt.

Нелинейность функций над конечными полями

Нелинейность и аддитивная нелинейность функции определяются как расстояния Хэмминга до множества всех аффинных отображений и множества всех отображений, имеющих нетривиальные аддитивные трансляторы, соответственно. На основе выявленной связи параметров нелинейности с коэффициентами Фурье характеров функции найдены удобные формулы для вычисления нелинейности для практически значимых классов функций над произвольным конечным полем. В случае поля четной характеристики в терминах коэффициентов автокорреляции получены аналогичные результаты для аддитивной нелинейности. Полученные формулы позволили определить конкретные классы функций с максимально возможной и высокой нелинейностью и аддитивной нелинейностью.

Некоторые классы легкотестируемых схем в базисе Жегалкина

Выделяются классы булевых функций, которые могут быть реализованы легкотестируемыми схемами в базисе Жегалкина при константных неисправностях типа «1» на выходах элементов. Получена верхняя оценка длины полного проверяющего теста для функций от трех переменных.

Диагностические тесты для дискретных функций, определeнных на кольцах

В статье изучаются источники неисправностей, связанные с конечными коммутативными кольцами главных идеалов. Таблицы неисправностей таких источников соответствуют таблицам Кэли для умножения в кольцах, элементы которых заменяются значениями двоичной функции от них. Для таких колец естественным образом вводятся понятия диагностического теста и функции Шеннона длины диагностического теста. Показано, что если $A$ - кольцо главных идеалов, имеющее только один простой идеал $p \neq A$, и $p^n = 0$ для некоторого $n \in \mathbb {N}$, то функция Шеннона длины диагностического теста на этом кольце имеет вид $L^{diagn}(A,n) = \Theta(n).$ Вводится понятие легкотестируемых функций, т. е. функций, относительно которых длина диагностического теста по порядку роста равна логарифму числа попарно не равных столбцов таблицы неисправностей. Показана связь между легкотестируемостью и отделимостью столбцов таблиц неисправностей для двух конкретных источников неисправностей.