Στο κεφάλαιο 2 γενικεύουμε το βασικό αποτέλεσμα των Ανούση και Κατσούλη στο "Compact operators and the geometric structure of C*-algebras" σε TRO εργαζόμενοι ωστόσο με την ασθενή τοπολογία. Αν a είναι ένα στοιχείο που ανήκει στην κλειστή μοναδιαία μπάλα ενός TRO V, δείχνουμε ότι υπάρχει μια πιστή αναπαράσταση (φ,H) του V η οποία απεικονίζει το a σε ένα συμπαγή τελεστή αν και μόνο αν το σύνολο των δεύτερων διαταραχών του a είναι ασθενώς συμπαγές. Επιπλέον αποδεικνύεται μια εκδοχή για TRO's του αποτελέσματος του K. Ylinen στο "A note on the compact elements of C*-algebras" η οποία έχει ως συνέπεια το αποτέλεσμα των Bunce και Chu [Compact operations, multipliers and Radon-Nikodym property in JB*-triples, Θεώρημα 3.6] που είναι ένας χαρακτηρισμός των συμπαγών TRO's. Τέλος δίνουμε μια ικανή συνθήκη για να είναι ένα subTRO J ενός TRO V εσωτερικό ιδεώδες του V χρησιμοποιώντας των έννοια των δεύτερων διαταραχών. Στο κεφάλαιο 3 χαρακτηρίζονται τα στοιχεία των C*-αλγεβρών για τα οποία υπάρχει μια πιστή αναπαράσταση της C*-άλγεβρας η οποία τα απεικονίζει σε συμπαγείς τελεστές. Ξεκινάμε με ένα χαρακτηρισμό που αφορά τις CCR άλγεβρες και ακολούθως δίνονται χαρακτηρισμοί που βασίζονται σε συνθήκες θετικότητας σε μια C*-άλγεβρα. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας έννοιες από τη θεωρία των χώρων τελεστών ορίζουμε τα σύνολα hp(a) και vp(a) όπου a είναι μια συστολή σε μια C*-άλγεβρα Α. Αποδεικνύουμε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1) Υπάρχει μια πιστή αναπαράσταση π της Α τέτοια ώστε ο π(a) να είναι συμπαγής τελεστής. 2) Το σύνολο hp(a) είναι ασθενώς συμπαγές. 3) Το σύνολο vp(a) είναι ασθενώς συμπαγές. 4) Η τομή των συνόλων hp(a) και vp(a) είναι συμπαγές σύνολο. Στο κεφάλαιο 4 μελετάμε τους συμπαγείς τελεστές που ορίζονται στο μιγαδικό χώρο των μηδενικών ακολουθιών. Αποδεικνύουμε ότι αν a είναι ένας τελεστής που ορίζεται σε αυτό τον χώρο, νόρμας μικρότερης ή ίσης του ένα, τότε ο a είναι συμπαγής αν και μόνο αν το σύνολο των δεύτερων διαταραχών του είναι διαχωρίσιμο. Τέλος στο κεφάλαιο 5 ασχολούμαστε με το πρόβλημα του χαρακτηρισμού των συμπαγών multipliers που ορίζονται σε nest άλγεβρες.
Compact operators and the geometric structure of $C^*$-algebras
