В настоящей работе исследуется начально-краевые задачи для гиперболических уравнений, эллиптическая часть которых имеет наиболее общий вид и определена в произвольной многомерной области (с достаточно гладкой границей). Установливаются требования на правую часть уравнения и начальные функции, при которых к рассматрываемую задачу применим классический метод Фурье. Другими словами, доказывается методом Фурье существование и единственность решения смешанной задачи и показана устойчивость найденного решения от данных задачи: от начальных функций и правой части уравнения. Введено понятие обобщенного решения и доказана теорема о его существования. Аналогичные результаты справедливы и для параболических уравнений.
An initial-boundary value problem for a hyperbolic equation with the most general elliptic differential operator, defined on an arbitrary bounded domain, is considered. Uniqueness, existence and stability of the classical solution of the posed problem are proved by the classical Fourier method. Sufficient conditions for the initial function and for the right-hand side of the equation are indicated, under which the corresponding Fourier series converge absolutely and uniformly. The notion of a generalized solution is introduced and existence theorem is proved. Similar results are formulated for parabolic equations too.
On the Smoothness of a Generalized Solution of the First Initial Boundary-Value Problem for Strongly Parabolic Systems in a Cylinder with Nonsmooth Base with Respect to Time Variable
