On the Best Polynomial Approximation of Functions in the Weight Bergman Space

Задача нахождения точной оценки величины наилучшего приближения $E_{n-1}(f)_{p},$ $1\leq p\leq\infty,$ через усредненную величину модуля непрерывности и модуля гладкости самой функции и ее соответствующих производных является одной из интересных задач теории приближений. В свое время Н. П. Корнейчук рассмотрел эту задачу для класса $2\pi$-периодических функций $f(x)$ с выпуклым модулем непрерывности $\omega(f^{\prime}, t)$ в метрике пространства непрерывных функций $C[0, 2\pi].$ Аналогичную задачу без предположения выпуклости модуля непрерывности граничных значений аналитических в круге функций в пространстве Харди $H_{p},$ $1\leq p\leq\infty,$ рассмотрел Л. В. Тайков. Продолжая исследование указанных авторов, в пространствах Харди $H_{p},$ $p\geq 1,$ М. Ш. Шабозов и М. М. Миркалонова доказали новые точные неравенства, в которых наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций оценивается через суммы усредненных значений модулей непрерывности самой функции и некоторой ее производной. В настоящей работе получены точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и модулями непрерывности и гладкости самой функции и ее второй производной в весовом пространстве Бергмана. Вычислены точные значения бернштейновских и колмогоровских $n$-поперечников классов функций, задаваемых в весовом пространстве Бергмана. Полученные в последней теоремы результаты являются обобщением результата Л. В. Тайкова, полученного для классов дифференцируемых периодических функций, на случай аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству $B_{q,\gamma},$ $1\leq q\leq\infty.$

Best approximation of holomorphic functions from hardy space in terms of Taylor coefficients

We describe the set of holomorphic functions from the Hardy space Hq, 1 ? q ? ?, for which the best polynomial approximation En(f)q is equal to |f (n)(0)|=n!.