On uniform polynomial approximation of functions that are analytic in finite number of non-intersecting continuums

We show that some of results, obtained by S.N. Bernstein, on constructive function theory, under certain conditions, take place for uniform polynomial approximation of functions that are analytic in finite number of non-intersecting continuums. On the base of obtained results for certain class of analytic functions we calculate asymptotic values of some $n$-widths.

SecureBP from Homomorphic Encryption

We present a secure backpropagation neural network training model (SecureBP), which allows a neural network to be trained while retaining the confidentiality of the training data, based on the homomorphic encryption scheme. We make two contributions. The first one is to introduce a method to find a more accurate and numerically stable polynomial approximation of functions in a certain interval. The second one is to find a strategy of refreshing ciphertext during training, which keeps the order of magnitude of noise at O˜e33.

On the Best Polynomial Approximation of Functions in the Weight Bergman Space

Задача нахождения точной оценки величины наилучшего приближения $E_{n-1}(f)_{p},$ $1\leq p\leq\infty,$ через усредненную величину модуля непрерывности и модуля гладкости самой функции и ее соответствующих производных является одной из интересных задач теории приближений. В свое время Н. П. Корнейчук рассмотрел эту задачу для класса $2\pi$-периодических функций $f(x)$ с выпуклым модулем непрерывности $\omega(f^{\prime}, t)$ в метрике пространства непрерывных функций $C[0, 2\pi].$ Аналогичную задачу без предположения выпуклости модуля непрерывности граничных значений аналитических в круге функций в пространстве Харди $H_{p},$ $1\leq p\leq\infty,$ рассмотрел Л. В. Тайков. Продолжая исследование указанных авторов, в пространствах Харди $H_{p},$ $p\geq 1,$ М. Ш. Шабозов и М. М. Миркалонова доказали новые точные неравенства, в которых наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций оценивается через суммы усредненных значений модулей непрерывности самой функции и некоторой ее производной. В настоящей работе получены точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и модулями непрерывности и гладкости самой функции и ее второй производной в весовом пространстве Бергмана. Вычислены точные значения бернштейновских и колмогоровских $n$-поперечников классов функций, задаваемых в весовом пространстве Бергмана. Полученные в последней теоремы результаты являются обобщением результата Л. В. Тайкова, полученного для классов дифференцируемых периодических функций, на случай аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству $B_{q,\gamma},$ $1\leq q\leq\infty.$

Polynomial approximation of functions in weighted Lebesgue and Smirnov spaces with nonstandard growth

This work deals with basic approximation problems such as direct, inverse and simultaneous theorems of trigonometric approximation of functions of weighted Lebesgue spaces with a variable exponent on weights satisfying a variable Muckenhoupt A p(·) type condition. Several applications of these results help us transfer the approximation results for weighted variable Smirnov spaces of functions defined on sufficiently smooth finite domains of complex plane ℂ.