Spectral triples on irreversible C∗-dynamical systems

Given a spectral triple on a [Formula: see text]-algebra [Formula: see text] together with a unital injective endomorphism [Formula: see text], the problem of defining a suitable crossed product [Formula: see text]-algebra endowed with a spectral triple is addressed. The proposed construction is mainly based on the works of Cuntz and [A. Hawkins, A. Skalski, S. White and J. Zacharias, On spectral triples on crossed products arising from equicontinuous actions, Math. Scand. 113(2) (2013) 262–291], and on our previous papers [V. Aiello, D. Guido and T. Isola, Spectral triples for noncommutative solenoidal spaces from self-coverings, J. Math. Anal. Appl. 448(2) (2017) 1378–1412; V. Aiello, D. Guido and T. Isola, A spectral triple for a solenoid based on the Sierpinski gasket, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 17(20) (2021) 21]. The embedding of [Formula: see text] in [Formula: see text] can be considered as the dual form of a covering projection between noncommutative spaces. A main assumption is the expansiveness of the endomorphism, which takes the form of the local isometricity of the covering projection, and is expressed via the compatibility of the Lip-norms on [Formula: see text] and [Formula: see text].

KMS states on crossed products by abelian groups

We provide a general description of the KMS states for flows whose fixed point algebra satisfies a certain regularity condition. This is then applied to crossed products by discrete groups, and in particular to certain flows on crossed products by discrete abelian groups where the methods can be combined with spectral analysis for abelian automorphism groups.

TWISTS, CROSSED PRODUCTS AND INVERSE SEMIGROUP COHOMOLOGY

Twisted étale groupoid algebras have recently been studied in the algebraic setting by several authors in connection with an abstract theory of Cartan pairs of rings. In this paper we show that extensions of ample groupoids correspond in a precise manner to extensions of Boolean inverse semigroups. In particular, discrete twists over ample groupoids correspond to certain abelian extensions of Boolean inverse semigroups, and we show that they are classified by Lausch’s second cohomology group of an inverse semigroup. The cohomology group structure corresponds to the Baer sum operation on twists. We also define a novel notion of inverse semigroup crossed product, generalizing skew inverse semigroup rings, and prove that twisted Steinberg algebras of Hausdorff ample groupoids are instances of inverse semigroup crossed products. The cocycle defining the crossed product is the same cocycle that classifies the twist in Lausch cohomology.

Strong Morita equivalence for inclusions of $C^*$-algebras induced by twisted actions of a countable discrete group

We consider two twisted actions of a countable discrete group on $\sigma$-unital $C^*$-algebras. Then by taking the reduced crossed products, we get two inclusions of $C^*$-algebras. We suppose that they are strongly Morita equivalent as inclusions of $C^*$-algebras. Also, we suppose that one of the inclusions of $C^*$-algebras is irreducible, that is, the relative commutant of one of the $\sigma$-unital $C^*$-algebra in the multiplier $C^*$-algebra of the reduced twisted crossed product is trivial. We show that the two actions are then strongly Morita equivalent up to some automorphism of the group.

K-Theory for Semigroup C*-Algebras and Partial Crossed Products

Using the Baum–Connes conjecture with coefficients, we develop a K-theory formula for reduced C*-algebras of strongly 0-E-unitary inverse semigroups, or equivalently, for a class of reduced partial crossed products. This generalizes and gives a new proof of previous K-theory results of Cuntz, Echterhoff and the author. Our K-theory formula applies to a rich class of C*-algebras which are generated by partial isometries. For instance, as new applications which could not be treated using previous results, we discuss semigroup C*-algebras of Artin monoids, Baumslag-Solitar monoids and one-relator monoids, as well as C*-algebras generated by right regular representations of semigroups of number-theoretic origin, and C*-algebras attached to tilings.

Partial C*-dynamics and Rokhlin dimension

We develop the notion of the Rokhlin dimension for partial actions of finite groups, extending the well-established theory for global systems. The partial setting exhibits phenomena that cannot be expected for global actions, usually stemming from the fact that virtually all averaging arguments for finite group actions completely break down for partial systems. For example, fixed point algebras and crossed products are not in general Morita equivalent, and there is in general no local approximation of the crossed product $A\rtimes G$ by matrices over A. Using decomposition arguments for partial actions of finite groups, we show that a number of structural properties are preserved by formation of crossed products, including finite stable rank, finite nuclear dimension, and absorption of a strongly self-absorbing $C^*$ -algebra. Some of our results are new even in the global case. We also study the Rokhlin dimension of globalizable actions: while in general it differs from the Rokhlin dimension of its globalization, we show that they agree if the coefficient algebra is unital. For topological partial actions on spaces of finite covering dimension, we show that finiteness of the Rokhlin dimension is equivalent to freeness, thus providing a large class of examples to which our theory applies.

Crossed products of operator spaces and applications to Harmonic Analysis of non commutative groups

Μελετάμε τα σταυρωτά γινόμενα που προκύπτουν από δράσεις τοπικά συμπαγών ομάδων σε δυϊκούς χώρους τελεστών, τα οποία γενικεύουν την κλασική κατασκευή του σταυρωτού γινομένου για δράσεις ομάδων σε άλγεβρες von Neumann. Οι μέθοδος μας στηρίζεται στις έννοιες των αλγεβρών Hopf-von Neumann και comodules, καθώς μας παρέχουν ένα φυσιολογικό πλαίσιο μελέτης φαινομένων δυϊσμού όσον αφορά δράσεις εν γένει μη αβελιανών τοπικά συμπαγών ομάδων. Παρακάτω, ακολουθεί μια σύντομη περίληψη των κυρίων αποτελεσμάτων αυτής της διατριβής.Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή του απαραίτητου μαθηματικού υποβάθρου για την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας ακολούθως. Συγκεκριμένα, παραθέτουμε τους βασικούς ορισμούς και ιδιότητες αναφορικά με (δυϊκούς) χώρους τελεστών και τανυστικά γινόμενα χώρων τελεστών, την έννοια της stable point-w*-σύγκλισης και τις βασικές άλγεβρες von Neumann (και Banach) που σχετίζονται με τοπικά συμπαγείς ομάδες.Στο δεύτερο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με άλγεβρες Hopf-von Neumann και comodules τα οποία είναι και δυϊκοί χώροι τελεστών. Συγκεκριμένα, μελετάμε τις έννοιες saturated και non-degenerate comodules μιας γενικής άλγεβρας Hopf-von Neumann, καθώς και τις μεταξύ τους σχέσεις. Για παράδειγμα, αποδεικνύουμε ότι αν κάθε comodule μιας άλγεβρας Hopf-von Neumann είναι non-degenerate, τότε κάθε comodule αυτής είναι και saturated. Επίσης, δείχνουμε ότι η τελευταία συνθήκη, δηλαδή ότι μια άλγεβρα Hopf-von Neumann έχει μόνο saturated comodules (η οποία είναι εξ ορισμού αλγεβρικού χαρακτήρα), είναι ισοδύναμη με διάφορες συνθήκες προσέγγισης. Ως εφαρμογή, αποδεικνύουμε ότι μια τοπικά συμπαγής ομάδα G έχει την προσεγγιστική ιδιότητα (AP) κατά Haagerup και Kraus αν και μόνο αν κάθε saturated comodule της άλγεβρας von Neumann L(G) της ομάδας είναι non-degenerate.Στο τρίτο κεφάλαιο, μελετώνται το χωρικό και το Fubini σταυρωτό γινόμενο για δράσεις ομάδων σε δυϊκούς χώρους τελεστών, ενώ εξετάζεται και η φυσιολογική δομή comodule (δυϊκές δράσεις) με την οποία εφοδιάζονται. Αυτά τα δύο σταυρωτά γινόμενα συμπίπτουν για δράσεις ομάδων πάνω σε άλγεβρες von Neumann από το κλασικό θεώρημα Digernes-Takesaki. Ωστόσο, ενδέχεται να διαφέρουν για αυθαίρετους δυϊκούς χώρους τελεστών. Xρησιμοποιώντας θεωρία δυϊσμού για δράσεις και την γενική θεωρία των comodules, αποδεικνύουμε ότι το Fubini σταυρωτό γινόμενο για την δράση μιας ομάδας είναι το μικρότερο saturated comodule που περιέχει το αντίστοιχο χωρικό σταυρωτό γινόμενο, ενώ το δεύτερο είναι το μεγαλύτερο non-degenerate subcomodule του πρώτου. Επομένως, από τον προηγούμενο χαρακτηρισμό των ομάδων με την AP, παίρνουμε το κεντρικό μας θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο μια τοπικά συμπαγής ομάδα G έχει την AP αν και μόνο αν το χωρικό και το Fubini σταυρωτό γινόμενο συμπίπτουν για κάθε G-δράση σε οποιονδήποτε δυϊκό χώρο τελεστών. Αυτό βελτιώνει ένα πρόσφατο αποτέλεσμα των Crann και Neufang.Τέλος, στο τελευταίο κεφάλαιο, εφαρμόζοντας την γενική θεωρία παίρνουμε μια από εννοιολογικής άποψης καλύτερη προσέγγιση ορισμένων κλάσεων διπρότυπων πάνω από τις άλγεβρες von Neumann μιας ομάδας, τα οποία αναπαρίστανται ως σταυρωτά γινόμενα δυϊκών χώρων τελεστών που δεν είναι κατ' ανάγκη άλγεβρες von Neumann. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια λιγότερο τεχνική απόδειξη ενός θεωρήματος των Ανούση-Κτάβολου-Todorov και απαντάμε σε μια ερώτηση των ιδίων συγγραφέων αναφορικά με τα ιδεώδη της άλγεβρας Fourier. Επί πλέον, επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα των Crann και Neufang σχετικά με L(G)-διπρότυπα στην περίπτωση που η ομάδα G ικανοποιεί μια συνθήκη a priori ασθενέστερη της AP.