Unconditional Bases in Radial Hilbert Spaces

Рассматривается гильбертово пространство целых функций $H$, удовлетворяющее условиям: 1) пространство $H$~--- функциональное в том смысле, что точечные функционалы $\delta _z: \, f\rightarrow f(z)$ являются непрерывными при каждом $z\in \mathbb{C}$; 2) пространство $H$ устойчиво относительно деления, т.~е. если $F\in H$, $F(z_0)=0$, то $F(z)(z-z_0)^{-1}\in H$; 3) пространство $H$ радиальное, т.~е. если $F\in H$ и $\varphi \in \mathbb R$, то функция $F(ze^{i\varphi })$ лежит в~$H$, причем $\|F(ze^{i\varphi })\|= \|F\|$; 4) полиномы полны в $H$ и $\|z^n\|\asymp e^{u(n)},$ $n\in \mathbb N\cup \{0\},$ где последовательность $u(n)$ удовлетворяет условию $u(n+1)+u(n-1)-2u(n)\succ n^\delta ,$ $n\in \mathbb N,$ для некоторого $\delta >0$. Из условия 1) следует, что каждый функционал $\delta _z$ порождается элементом $k_z(\lambda )\in H$ в смысле $\delta _z(f)=(f(\lambda ),k_z(\lambda )).$ Функция $k(\lambda, z)=k_z(\lambda )$ называется воспроизводящим ядром пространства~$H$. Базис $\{ e_k,\ k=1,2,\ldots\}$ в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом, если найдутся числа $c,C>0$, такие, что для любого элемента $x=\sum \nolimits _{k=1}^{\infty } x_ke_k\in H$ выполняется соотношение $$ c\sum _{k=1}^\infty |c_k|^2\|e_k\|^2\le \left \|x \right \|^2\le C\sum _{k=1}^\infty |c_k|^2\|e_k\|^2. $$ В статье излагается метод конструирования безусловных базисов из значений воспроизводящего ядра в таких пространствах. Эта задача восходит к двум тесно связанным между собой классическим задачам: представление функций посредством рядов экспонент и интерполяция целыми функциями.