Нелокальные уравнения баланса с параметром в пространстве знакопеременных мер

Изучается параметрическое семейство нелокальных уравнений баланса в пространстве знакопеременных мер. В предположениях, охватывающих ряд известных содержательных моделей, доказана теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от параметра и начального распределения. Обсуждаются некоторые следствия данной теоремы, полезные для теории управления, в том числе предел в среднем поле системы обыкновенных дифференицальных уравнений, существование оптимального управления ансамблем траекторий, формула Троттера для произведения полугрупп соответствующих операторов, а также существование решения дифференциального включения в пространстве знакопеременных мер. Библиография: 33 названия.

О локальном и граничном поведении обратных отображений на римановых многообразиях

Получены результаты о локальном поведении отображений между римановыми многообразиями, обратные к которым удовлетворяют верхним оценкам искажения модуля семейств кривых. Для семейств таких отображений доказаны теоремы об их равностепенной непрерывности во внутренних и граничных точках области. Библиография: 30 названий.

Об особых компактификациях лог-Калаби-Яу моделей Ландау-Гинзбурга

Рассмотрена процедура построения компактификаций лог-Калаби-Яу слабых моделей Ландау-Гинзбурга многообразий Фано. Эта процедура применена к поверхностям дель Пеццо и накрытиям проективных пространств, имеющим индекс 1. Если индекс накрытия больше $2$, такие компактификации особы; кроме того, не существует гладких проективных компактификаций лог-Калаби-Яу. Также в рассмотренных случаях доказана гипотеза о том, что число компонент слоев над бесконечностью равно размерности антиканонической системы многообразия Фано. Библиография: 46 названий.

Еще раз о разреженных вершинных полуграфах в графах без треугольников

Одна из гипотез Эрдeша утверждает, что в каждом графе без треугольников на $n$ вершинах есть индуцированный подграф на $n/2$ вершинах с не более чем $n^2/50$ ребрами. Мы представляем несколько частных результатов в направлении этой гипотезы. Среди прочего установлена новая оценка $27n^2/1024$ на число ребер в общем случае. Мы полностью доказываем гипотезу для графов обхвата $\geq 5$, для графов с числом независимости $\geq 2n/5$, а также для сильно регулярных графов. Каждый из этих трех классов включает обе известные (предположительно) экстремальные конфигурации: цикл на пяти вершинах и граф Петерсена. Библиография: 21 название.

Глобальная и полулокальная теоремы о неявной и об обратной функции в банаховых пространствах

Рассмотрены непрерывные отображения, действующие из одного банахова пространства в другое и зависящие от параметра, принимающего значения в топологическом пространстве. При каждом значении параметра эти отображения непрерывно дифференцируемы. В предположениях нормальности (регулярности) рассматриваемых отображений получены достаточные условия существования глобальной и полулокальной неявных функций. Получены априорные оценки решений. В качестве приложений этих результатов, в частности, получены теорема о продолжении неявной функции с заданного замкнутого множества на все пространство параметров и теорема о точках совпадения отображений. Библиография: 32 названия.

Обобщение логарифма Артина-Хассе для $K$-групп Милнора $\delta$-колец

Пусть $R$ - $p$-адически полное кольцо, снабженное $\delta$-структурой. В статье строится функториальный гомоморфизм групп из $K$-группы Милнора $K^{M}_{n}(R)$ в фактор $p$-адического пополнения модуля дифференциальных форм $\widehat{\Omega}^{n-1}_{R}/d\widehat{\Omega}^{n-2}_{R}$. Данный гомоморфизм является $p$-адическим аналогом отображения Блоха, определенного для относительных $K$-групп Милнора нильпотентных расширений колец степени нильпотентности $N$, для которых число $N!$ обратимо. Библиография: 12 названий.

Полиномиальная $m$-система Эрмита-Паде для мероморфных функций на компактной римановой поверхности

Для произвольного набора из $m+1$ ростков аналитических функций в одной фиксированной точке вводится в рассмотрение полиномиальная $m$-система Эрмита-Паде, включающая в себя полиномы Эрмита-Паде 1-го и 2-го типов. В случае общего положения в работе найдена слабая асимптотика полиномов $m$-системы Эрмита-Паде, построенной по набору ростков функций $1, f_1,…,f_m$, мероморфных на $(m+1)$-листной компактной римановой поверхности $\mathfrak R$. Показано, что если $f_j = f^j$ для некоторой мероморфной на $\mathfrak R$ функции $f$, то с помощью отношений полиномов $m$-системы Эрмита-Паде восстанавливаются значения функции $f$ на всех листах разбиения Наттолла поверхности $\mathfrak R$, кроме последнего. Библиография: 18 названий.

Фильтрация ветвления и деформации

Пусть $\mathscr K$ - поле формальных рядов Лорана с коэффициентами в конечном поле характеристики $p$, $\mathscr G_{<p}$ - максимальный фактор группы Галуа поля $\mathscr K$ периода $p$ и класса нильпотентности $<p$ и $\{\mathscr G_{<p}^{(v)}\}_{v\geqslant 1}$ - фильтрация подгрупп ветвления в верхней нумерации. Пусть $\mathscr G_{<p}=G(\mathscr L)$ - отождествление нильпотентной теории Артина-Шрайера: здесь $G(\mathscr L)$ - группа, полученная из проконечной $\mathbb{F}_p$-алгебры Ли $\mathscr L$ с помощью группового закона Кемпбелла-Хаусдорфа. В работе изложен новый подход к описанию идеалов $\mathscr L^{(v)}$ таких, что $G(\mathscr L^{(v)})=\mathscr G_{<p}^{(v)}$, и построению их явных образующих. Для заданного $v_0\geqslant 1$ строится эпиморфизм алгебр Ли $\overline\eta^{\dagger }\colon \mathscr L\to \overline{\mathscr L}^{\dagger }$ и действие $\Omega_U$ формальной группы порядка $p$, $\alpha_p=\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[U]$, $U^p=0$, на $\overline{\mathscr L}^{\dagger }$. Пусть $d\Omega_U=B^{\dagger }U$, где $B^{\dagger }\in\operatorname{Diff}\overline{\mathscr L}^{\dagger }$, и $\overline{\mathscr L}^{\dagger }[v_0]$ - идеал в $\overline{\mathscr L}^{\dagger }$, порожденный элементами $B^{\dagger }(\overline{\mathscr L}^{\dagger })$. Основной результат работы утверждает, что $\mathscr L^{(v_0)}=(\overline\eta^{\dagger })^{-1}\overline{\mathscr L}^{\dagger }[v_0]$. В заключительных параграфах этот результат связывается с явным описанием образующих идеала $\mathscr L^{(v_0)}$, полученным ранее автором, и формулируется его более эффективная версия, позволяющая восстанавливать всю фильтрацию ветвления группы $\mathscr G_{<p}$ по множеству ее скачков. Библиография: 13 названий.

Топологический анализ биллиарда, ограниченного софокусными квадриками, в потенциальном поле

Рассмотрим биллиард в плоской области, ограниченной софокусными эллипсами и гиперболами. На материальную точку действует гуковский потенциал. Оказывается, эта динамическая система вполне интегрируема по Лиувиллю. В работе проведен топологический анализ слоения Лиувилля изоэнергетических многообразий всевозможных уровней гамильтониана и построены их полные инварианты Фоменко-Цишанга (меченые молекулы). Библиография: 14 названий.

Равномерные аппроксимации функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$

В работе получены критерии равномерной приближаемости функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^2$ методом редукции к аналогичным задачам в $\mathbb R^3$, исследованным ранее М. Я. Мазаловым. Установлен ряд метрических свойств используемых емкостей. Библиография: 16 названий.