Gröbner Bases with Respect to Generalized Term Orders and their Application to the Modelling Problem

FRANZ PAUER; SANDRO ZAMPIERI

doi:10.1006/jsco.1996.0007

Gröbner Bases with Respect to Generalized Term Orders and their Application to the Modelling Problem

Journal of Symbolic Computation ◽

10.1006/jsco.1996.0007 ◽

1996 ◽

Vol 21 (2) ◽

pp. 155-168 ◽

Cited By ~ 4

Author(s):

FRANZ PAUER ◽

SANDRO ZAMPIERI

Keyword(s):

Gröbner Bases ◽

Grobner Bases ◽

Modelling Problem ◽

Term Orders

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Toric Ideals of Flow Polytopes

Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science ◽

10.46298/dmtcs.2837 ◽

2010 ◽

Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽

Author(s):

Matthias Lenz

Keyword(s):

Gröbner Bases ◽

Grobner Bases ◽

Toric Ideals ◽

Toric Ideal ◽

Birkhoff Polytope ◽

Flow Polytopes ◽

International Audience ◽

Transportation Polytopes ◽

Term Orders ◽

Special Case

International audience We show that toric ideals of flow polytopes are generated in degree $3$. This was conjectured by Diaconis and Eriksson for the special case of the Birkhoff polytope. Our proof uses a hyperplane subdivision method developed by Haase and Paffenholz. It is known that reduced revlex Gröbner bases of the toric ideal of the Birkhoff polytope $B_n$ have at most degree $n$. We show that this bound is sharp for some revlex term orders. For $(m \times n)$-transportation polytopes, a similar result holds: they have Gröbner bases of at most degree $\lfloor mn/2 \rfloor$. We construct a family of examples, where this bound is sharp. Nous démontrons que les idéaux toriques des polytopes de flot sont engendrés par un ensemble de degré $3$. Cela a été conjecturé par Diaconis et Eriksson pour le cas particulier du polytope de Birkhoff. Notre preuve utilise une méthode de subdivision par hyperplans, développée par Haase et Paffenholz. Il est bien connu que les bases de Gröbner revlex réduite du polytope de Birkhoff $B_n$ sont au plus de degré $n$. Nous démontrons que cette borne est optimale pour quelques ordres revlex. Pour les polytopes de transportation de dimension $(m \times n)$, il existe un résultat similaire : leurs bases de Gröbner sont au plus de degré $\lfloor mn/2 \rfloor$. Nous construisons une famille d'exemples pour lesquels cette borne est atteinte.

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