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Kuniba, Nakanishi, and Suzuki (1994) have formulated a general conjecture expressing the positive solution of an $\ell$-restricted $Q$-system in terms of quantum dimensions of Kirillov-Reshetikhin modules. After presenting this conjecture, we sketch a proof for the exceptional type $E_6$ following our preprint (2013). In types $E_7$ and $E_8$, we prove positivity for a subset of the nodes of the Dynkin diagram, and we reduce the positivity for the remaining nodes to the conjectural iterated log-concavity of certain explicit sequences of real algebraic numbers.
Kuniba, Nakanishi et Suzuki (1994) ont formulé une conjecture générale qui exprime la solution positive d’un $Q$-system $\ell$-restreint en fonction des dimensions quantiques de certains modules de Kirillov-Reshetikhin. Après avoir présenté cette conjecture, nous donnons une idée de la preuve pour le type exceptionnel $E_6$, selon notre preprint (arXiv, 2013). En types $E_7$ et $E_8$, nous démontrons la positivité pour certains sommets du diagramme de Dynkin, et nous réduisons la positivité, pour les sommets restants, à une conjecture de log-concavité itérée concernant certaines suites explicites de nombres algébriques.
Euler numbers of Hilbert schemes of points on simple surface singularities and quantum dimensions of standard modules of quantum affine algebras
