Exact Analysis of the Finite Precision Error Generated in Important Chaotic Maps and Complete Numerical Remedy of These Schemes

A first aim of the present work is the determination of the actual sources of the “finite precision error” generation and accumulation in two important algorithms: Bernoulli’s map and the folded Baker’s map. These two computational schemes attract the attention of a growing number of researchers, in connection with a wide range of applications. However, both Bernoulli’s and Baker’s maps, when implemented in a contemporary computing machine, suffer from a very serious numerical error due to the finite word length. This error, causally, causes a failure of these two algorithms after a relatively very small number of iterations. In the present manuscript, novel methods for eliminating this numerical error are presented. In fact, the introduced approach succeeds in executing the Bernoulli’s map and the folded Baker’s map in a computing machine for many hundreds of thousands of iterations, offering results practically free of finite precision error. These successful techniques are based on the determination and understanding of the substantial sources of finite precision (round-off) error, which is generated and accumulated in these two important chaotic maps.

The Analysis of Eigenstates of a Few Generalized Quantum Baker’s Maps Using Hadamard and Related Transforms

Application of the Hadamard and related transforms on a few generalized quantum baker’s maps have been studied. Effectiveness of the Hadamard transform and a new transform which combines the Fourier and the Hadamard transforms, for simplifying the eigenstates or resonances of the quantization of a few generalized baker’s map namely tetradic baker and lazy baker’s map when the Hilbert space dimension is power of [Formula: see text] has been done by comparing the participation ratios in the transformed basis with respect to the position basis. Several special family of states based on their maximal compression in either Hadamard transform or the new transform are identified and they are related to the ubiquitous Thue–Morse and allied sequences. Evidence is provided that these special family of states as well as average over all eigenstates exhibits multifractal nature.

Κρυπτογραφία με χάος

Σκοπός της διδακτορικής διατριβής είναι η εφαρμογή χαοτικών μετασχηματισμών στην Κρυπτογραφία. Στόχοι της διατριβής είναι 1) η στατιστική ανάλυση των χαοτικών μετασχηματισμών μέσω της παραγωγής εντροπίας, 2) η μαθηματική μοντελοποίηση της κρυπτογραφίας με χάος, 3) η ανάπτυξη των σχετικών αλγορίθμων με χρήση κλάσεων χαοτικών μετασχηματισμών για την κρυπτογράφηση κειμένου και εικόνας, 4) η εφαρμογή των αλγορίθμων σε πραγματικές εικόνες και κείμενα και 5) η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων με βάση σχετικά κριτήρια και δείκτες. Αναλύονται οι αλγόριθμοι κρυπτογράφησης από 4 κλάσεις χαοτικών συστημάτων, 6 σχήματα κρυπτογράφησης εικόνων (ΣΚΕ) και 2 σχήματα κρυπτογράφησης κειμένων (ΣΚΚ). Έκαστος από τους 4 αλγόριθμους κρυπτογράφησης δύναται να συνδυαστεί με οποιονδήποτε από τα 6 σχήματα κρυπτογράφησης εικόνων, καθώς επίσης και με οποιονδήποτε από 2 σχήματα κρυπτογράφησης κειμένου, κατά περίπτωση. Κάθε Σχήμα κρυπτογράφησης εικόνων μπορεί να συνδυαστεί με οποιοδήποτε αλγόριθμο κρυπτογράφησης είτε με αυθαίρετους συνδυασμούς των αλγορίθμων κρυπτογράφησης. Οι χαοτικές διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται στη κρυπτογραφία κυρίως ως γεννήτριες τυχαίων αριθμών. Ως εκ τούτου στην παρούσα εργασία θα περιοριστούμε στις χαοτικές απεικονίσεις. Ο περιορισμός αυτός δεν είναι ουσιώδης καθόσον οι χαοτικές ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων κληρονομούνται στις σχετικές απεικονίσεις Poincare μέσω των τομών Poincare. Οι καινοτομίες της διατριβής είναι: 1) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πλάστη (Baker’s Map) ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 2) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πλάστη (Baker’s Map Multi Line) με L συνενώσεις γραμμών ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 3) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πετάλου (Horseshoe Map). 4) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πετάλου (Horseshoe Map) ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 5) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πετάλου (Horseshoe Map Multi Line) με L συνενώσεις γραμμών ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 6) Κατασκευή διακριτοποίησης του μονοδιάστατου μετασχηματισμού Bernoulli (Bernoulli Map) ώστε να είναι εφικτή η εφαρμογή του για κρυπτογράφηση σε διδιάστατο πλέγμα κατά γραμμές ή στήλες. 7) Δείξαμε ότι είναι εφικτός ο σχεδιασμός χαοτικών αυτομορφισμών Τόρου με επιθυμητή παραγωγή εντροπίας και ότι οι Αυτομορφισμοί του Τόρου με την ίδια παραγωγή εντροπίας έχουν την ίδια Περίοδο η οποία εξαρτάται μόνο από το μέγεθος του πλέγματος. 8) Μελετήθηκαν οι διδιάστατοι αυτομορφισμοί του Τόρου με στοιχεία διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci σε σχέση με την παραγωγή εντροπίας. Υπολογίστηκαν οι σχέσεις που συνδέουν την επιθυμητή παραγωγή εντροπίας με τα στοιχεία των αυτομορφισμών. 9) Κατασκευάστηκαν δύο διαφορετικοί μηχανισμοί δημιουργίας τυχαίων αριθμών (γεννήτριες) οι οποίες παράγουν τυχαίες ακολουθίες αριθμών με δεδομένη περίοδο. Οι γεννήτριες αυτές παρότι κατασκευάστηκαν για την Στεγανογραφία έχουν ευρεία εφαρμογή. 10) Κατασκευάστηκαν νέοι αλγόριθμοι με χάος για Στεγανογραφία οι οποίοι επιλέγουν τις θέσεις ενσωμάτωσης του μηνύματος στο καλύπτον μήνυμα και επιπλέον κρυπτογραφούν το μήνυμα πριν ενσωματωθεί. 11) Κατασκευάστηκαν έξι νέα σχήματα κρυπτογράφησης εικόνων με μετάθεση και υποκατάσταση. Τα σχήματα αυτά χρησιμοποιούν 4 χαοτικούς μετασχηματισμούς για την κρυπτογράφηση. Χρησιμοποιήθηκαν οι μηχανισμοί τυχαίων αριθμών για την αλλαγή χρώματος των εικονοστοιχείων στα 3 σχήματα κρυπτογράφησης. 12) Κατασκευάστηκαν 3 αλγόριθμοι τοποθέτησης κειμένου σε πλέγμα ώστε να είναι εφικτή η κρυπτογράφηση του με χρήση των χαοτικών μετασχηματισμών. 13) Αναλύθηκαν τα κριτήρια του Shannon στην εφαρμογή των χαοτικών μετασχηματισμών σε κείμενο.

Stego Optical Encryption Based on Chaotic Baker’s Map Transformation

In this article, an optical image encryption algorithm based on chaotic baker’s map is presented. The stego-image is encrypted with the help of double random phase encoding algorithm and then produced disorder with the help of chaotic transformation. Security test shows that the reading of proposed algorithm is very close to the optimal values.