Existence of Weakly Periodic Gibbs Measures for the Ising Model on the Cayley Tree of Order Three

Одна из основных проблем для гамильтониана модели Изинга~--- это описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса. Известно, что для модели Изинга такие меры образуют непустое выпуклое компактное подмножество в множестве всех вероятностных мер. Задача полного описания элементов этого множества далека от своего завершения. Для модели Изинга на дереве Кэли порядка три были изучены трансляционно-инвариантные и периодические меры Гиббса, но слабо периодические меры Гиббса не были изучены. Отметим, что всякая периодическая мера Гиббса также является слабо периодической, но обратное неверно. Поэтому интересно изучать слабо периодические меры Гиббса, не являющиеся периодическими. Работа посвящена изучению слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три ($k=3$). Известно, что слабо периодическая мера Гиббса для модели Изинга зависеть от выбора нормального делителя группового представления дерева Кэли. В данной работе рассматривается один из нормальных делителей индекса четыре группового представления дерева Кэли. Относительно этого нормального делителя доказано существование слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три. Точнее, доказано, что при некоторых условиях на параметры существуют не менее 4 слабо периодических (не периодических) мер Гиббса.

Ledrappier–Young formulae for a family of nonlinear attractors

We study a natural class of invariant measures supported on the attractors of a family of nonlinear, non-conformal iterated function systems introduced by Falconer, Fraser and Lee. These are pushforward quasi-Bernoulli measures, a class which includes the well-known class of Gibbs measures for Hölder continuous potentials. We show that these measures are exact dimensional and that their exact dimensions satisfy a Ledrappier–Young formula.

On the Parabolic and Hyperbolic Liouville Equations

We study the two-dimensional stochastic nonlinear heat equation (SNLH) and stochastic damped nonlinear wave equation (SdNLW) with an exponential nonlinearity $$\lambda \beta e^{\beta u }$$ λ β e β u , forced by an additive space-time white noise. (i) We first study SNLH for general $$\lambda \in {\mathbb {R}}$$ λ ∈ R . By establishing higher moment bounds of the relevant Gaussian multiplicative chaos and exploiting the positivity of the Gaussian multiplicative chaos, we prove local well-posedness of SNLH for the range $$0< \beta ^2 < \frac{8 \pi }{3 + 2 \sqrt{2}} \simeq 1.37 \pi $$ 0 < β 2 < 8 π 3 + 2 2 ≃ 1.37 π . Our argument yields stability under the noise perturbation, thus improving Garban’s local well-posedness result (2020). (ii) In the defocusing case $$\lambda >0$$ λ > 0 , we exploit a certain sign-definite structure in the equation and the positivity of the Gaussian multiplicative chaos. This allows us to prove global well-posedness of SNLH for the range: $$0< \beta ^2 < 4\pi $$ 0 < β 2 < 4 π . (iii) As for SdNLW in the defocusing case $$\lambda > 0$$ λ > 0 , we go beyond the Da Prato-Debussche argument and introduce a decomposition of the nonlinear component, allowing us to recover a sign-definite structure for a rough part of the unknown, while the other part enjoys a stronger smoothing property. As a result, we reduce SdNLW into a system of equations (as in the paracontrolled approach for the dynamical $$\Phi ^4_3$$ Φ 3 4 -model) and prove local well-posedness of SdNLW for the range: $$0< \beta ^2 < \frac{32 - 16\sqrt{3}}{5}\pi \simeq 0.86\pi $$ 0 < β 2 < 32 - 16 3 5 π ≃ 0.86 π . This result (translated to the context of random data well-posedness for the deterministic nonlinear wave equation with an exponential nonlinearity) solves an open question posed by Sun and Tzvetkov (2020). (iv) When $$\lambda > 0$$ λ > 0 , these models formally preserve the associated Gibbs measures with the exponential nonlinearity. Under the same assumption on $$\beta $$ β as in (ii) and (iii) above, we prove almost sure global well-posedness (in particular for SdNLW) and invariance of the Gibbs measures in both the parabolic and hyperbolic settings. (v) In Appendix, we present an argument for proving local well-posedness of SNLH for general $$\lambda \in {\mathbb {R}}$$ λ ∈ R without using the positivity of the Gaussian multiplicative chaos. This proves local well-posedness of SNLH for the range $$0< \beta ^2 < \frac{4}{3} \pi \simeq 1.33 \pi $$ 0 < β 2 < 4 3 π ≃ 1.33 π , slightly smaller than that in (i), but provides Lipschitz continuity of the solution map in initial data as well as the noise.