Harish-Chandra Modules over ℤ

This chapter shows that certain classes of Harish-Chandra modules have in a natural way a structure over ℤ. The Lie group is replaced by a split reductive group scheme G/ℤ, its Lie algebra is denoted by 𝖌ℤ. On the group scheme G/ℤ there is a Cartan involution 𝚯 that acts by t ↦ t −1 on the split maximal torus. The fixed points of G/ℤ under 𝚯 is a flat group scheme 𝒦/ℤ. A Harish-Chandra module over ℤ is a ℤ-module 𝒱 that comes with an action of the Lie algebra 𝖌ℤ, an action of the group scheme 𝒦, and some compatibility conditions is required between these two actions. Finally, 𝒦-finiteness is also required, which is that 𝒱 is a union of finitely generated ℤ modules 𝒱I that are 𝒦-invariant. The definitions imitate the definition of a Harish-Chandra modules over ℝ or over ℂ.

Elementary Transvections in the Overgroups of a Non-Split Maximal Torus

Говорят, что подгруппа $H$ полной линейной группы $GL(n, k)$ богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции $t_{ij}(\alpha)$ на всех позициях $(i, j)$, $i\neq j$. В настоящей работе мы доказываем, что если подгруппа $H$ содержит нерасщепимый максимальный тор и элементарную трансвекцию на некоторой одной позиции, то она богата трансвекциями. Доказано также, что если подгруппа $H$ содержит циклическую матрицу-перестановку порядка $n$ и элементарную трансвекцию позиции $(i, j)$ такой, что НОД $(i-j, n) = 1$, то подгруппа $H$ богата трансвекциями.

Preliminary notions

This chapter considers some preliminary notions, starting with standard pseudo-reductive groups, Levi subgroups, and root systems. It reviews the “standard construction” of pseudo-reductive k-groups and shows that any connected reductive group equipped with a chosen split maximal torus is generated by that maximal torus and its root groups for the simple positive and negative roots relative to a choice of positive system of roots in the root system. It also discusses the basic exotic construction, noting that the only nontrivial multiplicities that occur for the edges of Dynkin diagrams of reduced irreducible root systems are 2 and 3. Finally, it explains the minimal type pseudo-reductive k-group G, along with quotient homomorphism between pseudo-reductive groups.

The net and elementary net group associated with non-split maximal torus

Элементы матриц нерасщепимого максимального тора T=T(d)(связанного с радикальным расширением k(d−−√n) степени n основного поля k) порождают некоторое подкольцо R(d) поля k. Пусть R - промежуточное подкольцо, R(d)⊆R⊆k, d∈R, A1⊆⋯⊆An - цепочка идеалов кольца R, причем dAn⊆A1. Через σ=(σij) мы обозначаем сеть идеалов, определенную формулой σij=Ai+1−j при j≤i и σij=dAn+i+1−j при j≥i+1. Через G(σ) и E(σ) обозначаются соответственно сетевая и элементарная сетевая группы. Доказывается, что TG(σ) и TE(σ) - промежуточные подгруппы группы GL(n,k), содержащие тор T.

Transvection modules in the overgroups of a non-split maximal torus

В работе изучаются модули трансвекций и кольца множителей подгрупп полной линейной группы G=GL(n,k) степени n над полем k, содержащие нерасщепимый максимальный тор T=T(d), связанный с радикальным расширением k(d−−√n) степени n основного поля k нечетной характеристики (минизотропный тор). Получен полный список из 2⋅[(n−12)2] соотношений ([⋅] - целая часть числа) модулей трансвекций. Доказано, что все кольца множителей совпадают между собой, и модули трансвекций являются идеалами кольца множителей. При этом предполагается, что основное поле k является полем частных области главных идеалов.

On extraction of transvections in overgroups of a non-split maximal torus

Устанавливается, что TE(σA), где E(σA) - подгруппа, порожденная всеми трансвекциями из сетевой группы, является группой. Кроме того, доказывается, что эта группа порождается тором и корневыми подгруппами позиции первого столбца элементарной группы E(σA).

Classification of all connected subgroup schemes of a reductive group containing a split maximal torus

The main result of the paper is a classification of all connected subgroup schemes of a reductive group containing a split maximal torus, over an arbitrary field. The classification is expressed in terms of functions on the root system.