О минимизационной задаче Шаллита

В задаче Дж. Шаллита из SIAM Review 1994 г. предлагалось обосновать двучленную асимптотику минимума рациональной функции $n$ переменных, определенной как сумма специального вида с числом слагаемых порядка $n^2$ при $n\to\infty$. Особый интерес представляет второй член асимптотики ("постоянная Шаллита"). Опубликованное в SIAM Review решение содержало итерационный алгоритм вычисления этой постоянной, включающий вспомогательные последовательности, обладающие определенными свойствами монотонности. Однако строгое обоснование упомянутых свойств, необходимое для заключения о сходимости итерационного процесса, было заменено ссылками на численные данные. В настоящей работе пробелы в доказательстве восполнены на основании анализа траекторий двумерной динамической системы с дискретным временем, соответствующих точкам минимума $n$-х сумм. Кроме того, получена точная экспоненциальная оценка остатка в асимптотической формуле Шаллита. Библиография: 9 названий.

A Simple Method for Network Visualization

In this article, we present a simple method for network visualization. The proposed method is based on distmesh [P.O. Persson and G. Strang, A simple mesh generator in MATLAB, SIAM Review 46 (2004) pp. 329–345], which is a simple unstructured triangular mesh generator for geometries represented by a signed distance function. We demonstrate a good performance of the proposed algorithm through several network visualization examples.

Sign patterns of J-orthogonal matrices

This paper builds upon the results in the article “G-matrices, J-orthogonal matrices, and their sign patterns", Czechoslovak Math. J. 66 (2016), 653-670, by Hall and Rozloznik. A number of further general results on the sign patterns of the J-orthogonal matrices are proved. Properties of block diagonal matrices and their sign patterns are examined. It is shown that all 4 × 4 full sign patterns allow J-orthogonality. Important tools in this analysis are Theorem 2.2 on the exchange operator and Theorem 3.2 on the characterization of J-orthogonal matrices in the paper “J-orthogonal matrices: properties and generation", SIAM Review 45 (3) (2003), 504-519, by Higham. As a result, it follows that for n ≤4 all n×n full sign patterns allow a J-orthogonal matrix as well as a G-matrix. In addition, the 3 × 3 sign patterns of the J-orthogonal matrices which have zero entries are characterized.

Some Properties of the Exchange Operator with respect to Structured Matrices defined by Indefinite Scalar Product Spaces

The properties of the exchange operator on some types of matrices are explored in this paper. In particular, the properties of exc(A,p,q), where A is a given structured matrix of size (p+q)×(p+q) and exc : M ×N×N → M is the exchange operator are studied. This paper is a generalization of one of the results in [N.J. Higham. J-orthogonal matrices: Properties and generation. SIAM Review, 45:504–519, 2003.].