A New Set of Limiting Gibbs Measures for the Ising Model on a Cayley Tree

2010 ◽  
Vol 142 (2) ◽  
pp. 314-321 ◽  
Author(s):  
H. Akin ◽  
U. A. Rozikov ◽  
S. Temir
Keyword(s):  
Ising Model ◽  
Cayley Tree ◽  
Gibbs Measures

scholarly journals GIBBS MEASURES FOR SOS MODELS ON A CAYLEY TREE

2006 ◽  
Vol 09 (03) ◽  
pp. 471-488 ◽  
Author(s):  
U. A. ROZIKOV ◽  
Y. M. SUHOV
Keyword(s):  
Ising Model ◽  
Normal Subgroup ◽  
Finite Index ◽  
Cayley Tree ◽  
Nearest Neighbor ◽  
Gibbs Measures ◽  
Natural Generalization ◽  
Mirror Reflection ◽  
Sos Model ◽  
Translation Invariant

We consider a nearest-neighbor solid-on-solid (SOS) model, with several spin values 0, 1,…, m, m ≥ 2, and zero external field, on a Cayley tree of order k (with k + 1 neighbors). The SOS model can be treated as a natural generalization of the Ising model (obtained for m = 1). We mainly assume that m = 2 (three spin values) and study translation-invariant (TI) and "splitting" (S) Gibbs measures (GMs). (Splitting GMs have a particular Markov-type property specific for a tree.) Furthermore, we focus on symmetric TISGMs, with respect to a "mirror" reflection of the spins. [For the Ising model (where m = 1), such measures are reduced to the "disordered" phase obtained for free boundary conditions, see Refs. 9, 10.] For m = 2, in the antiferromagnetic (AFM) case, a symmetric TISGM (and even a general TISGM) is unique for all temperatures. In the ferromagnetic (FM) case, for m = 2, the number of symmetric TISGMs and (and the number of general TISGMs) varies with the temperature: this gives an interesting example of phase transition. Here we identify a critical inverse temperature, [Formula: see text] such that [Formula: see text], there exists a unique symmetric TISGM μ* and [Formula: see text] there are exactly three symmetric TISGMs: [Formula: see text] (a "bottom" symmetric TISGM), [Formula: see text] (a "middle" symmetric TISGM) and [Formula: see text] (a "top" symmetric TISGM). For [Formula: see text] we also construct a continuum of distinct, symmertric SGMs which are non-TI. Our second result gives complete description of the set of periodic Gibbs measures for the SOS model on a Cayley tree. A complete description of periodic GMs means a characterisation of such measures with respect to any given normal subgroup of finite index in the representation group of the tree. We show that (i) for an FM SOS model, for any normal subgroup of finite index, each periodic SGM is in fact TI. Further, (ii) for an AFM SOS model, for any normal subgroup of finite index, each periodic SGM is either TI or has period two (i.e. is a chess-board SGM).

Uniqueness of Gibbs Measures for an Ising Model with Continuous Spin Values on a Cayley Tree

2020 ◽  
Vol 86 (3) ◽  
pp. 293-302
Author(s):  
Farhod Halimjonovich Haydarov ◽  
Shamshod A. Akhtamaliyev ◽  
Madalixon A. Nazirov ◽  
Behzod Boyxonovich Qarshiyev
Keyword(s):  
Ising Model ◽  
Cayley Tree ◽  
Gibbs Measures ◽  
Continuous Spin

scholarly journals Про конструктивні описи мір Гіббса для моделі Поттса на дереві Келі

2021 ◽  
Vol 73 (7) ◽  
pp. 938-950
Author(s):  
M. Rahmatullaev ◽  
F. К. Rafikov ◽  
Sh. Kh. Azamov
Keyword(s):  
Ising Model ◽  
Cayley Tree ◽  
Gibbs Measures ◽  
Stat Phys

УДК 517.9 Розглядається модель Поттса на деревi Келi. Доведено iснування мiр Гiббса, побудованих аналогiчним методом iз [H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, <em>A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree</em>, J. Stat. Phys., <strong>142</strong>, № 2, 314 – 321 (2011)] i -трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса для моделi Поттса на деревi Келi. Обчислено вiльнi енергiї цих мiр Гiббса.

Weakly periodic Gibbs measures for the Ising model on the Cayley tree of order $$k=2$$

2021 ◽  
Vol 206 (2) ◽  
pp. 185-198
Author(s):  
M. M. Rakhmatullaev ◽  
J. D. Dehqonov
Keyword(s):  
Ising Model ◽  
Cayley Tree ◽  
Gibbs Measures

New weakly periodic Gibbs measures of Ising model on Cayley tree

2015 ◽  
Vol 59 (11) ◽  
pp. 45-53 ◽  
Author(s):  
M. M. Rakhmatullaev
Keyword(s):  
Ising Model ◽  
Cayley Tree ◽  
Gibbs Measures

scholarly journals Existence of Weakly Periodic Gibbs Measures for the Ising Model on the Cayley Tree of Order Three

2021 ◽  
pp. 77-88
Author(s):  
М.М. Рахматуллаев ◽  
Ж.Д.у. Дехконов
Keyword(s):  
Ising Model ◽  
Cayley Tree ◽  
Gibbs Measures

Одна из основных проблем для гамильтониана модели Изинга~--- это описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса. Известно, что для модели Изинга такие меры образуют непустое выпуклое компактное подмножество в множестве всех вероятностных мер. Задача полного описания элементов этого множества далека от своего завершения. Для модели Изинга на дереве Кэли порядка три были изучены трансляционно-инвариантные и периодические меры Гиббса, но слабо периодические меры Гиббса не были изучены. Отметим, что всякая периодическая мера Гиббса также является слабо периодической, но обратное неверно. Поэтому интересно изучать слабо периодические меры Гиббса, не являющиеся периодическими. Работа посвящена изучению слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три ($k=3$). Известно, что слабо периодическая мера Гиббса для модели Изинга зависеть от выбора нормального делителя группового представления дерева Кэли. В данной работе рассматривается один из нормальных делителей индекса четыре группового представления дерева Кэли. Относительно этого нормального делителя доказано существование слабо периодических (не периодических) мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три. Точнее, доказано, что при некоторых условиях на параметры существуют не менее 4 слабо периодических (не периодических) мер Гиббса.

Phase diagram and extreme Gibbs measures of the Ising model on a Cayley tree in the presence of competing binary and ternary interactions

2011 ◽  
Vol 84 (11-12) ◽  
pp. 1045-1063 ◽  
Author(s):  
Nasir Ganikhodjaev ◽  
Hasan Akın ◽  
Selman Uğuz ◽  
Seyit Temir
Keyword(s):  
Phase Diagram ◽  
Ising Model ◽  
Cayley Tree ◽  
Gibbs Measures ◽  
Ternary Interactions
Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document