scholarly journals A General Symbolic PDE Solver Generator: Beyond Explicit Schemes

2003 ◽  
Vol 11 (3) ◽  
pp. 225-235 ◽  
Author(s):  
K. Sheshadri ◽  
Peter Fritzson
Keyword(s):  
Finite Difference ◽  
Method Of Lines ◽  
Difference Schemes ◽  
Finite Difference Schemes ◽  
Arbitrary Geometry ◽  
Explicit Schemes ◽  
Implicit Schemes ◽  
The Method Of Lines ◽  
Dependent Variables ◽  
Explicit Finite Difference

This paper presents an extension of our Mathematica- and MathCode-based symbolic-numeric framework for solving a variety of partial differential equation (PDE) problems. The main features of our earlier work, which implemented explicit finite-difference schemes, include the ability to handle (1) arbitrary number of dependent variables, (2) arbitrary dimensionality, and (3) arbitrary geometry, as well as (4) developing finite-difference schemes to any desired order of approximation. In the present paper, extensions of this framework to implicit schemes and the method of lines are discussed. While C++ code is generated, using the MathCode system for the implicit method, Modelica code is generated for the method of lines. The latter provides a preliminary PDE support for the Modelica language. Examples illustrating the various aspects of the solver generator are presented.

scholarly journals Analysis and optimization of higher order explicit finite-difference schemes for the advection stage implementation in the lattice Boltzmann method

2017 ◽  
pp. 227-246
Author(s):  
Г.В. Кривовичев ◽  
Е.С. Марнопольская
Keyword(s):  
Finite Difference ◽  
Lattice Boltzmann ◽  
Kinetic Equations ◽  
Difference Schemes ◽  
Numerical Dispersion ◽  
Finite Difference Schemes ◽  
Maximum Function ◽  
Driven Cavity ◽  
Explicit Finite Difference ◽  
The Stability

Статья посвящена анализу и оптимизации явных разностных схем для решения уравнений переноса, возникающих на этапе адвекции метода расщепления по физическим процессам. Метод может применяться как для решеточных уравнений Больцмана, так и при решении кинетических уравнений общего вида. Рассматриваются схемы второго-четвертого порядков аппроксимации. Для уменьшения эффектов численных диссипации и дисперсии используются схемы с параметром. С использованием метода фон Неймана и полиномиальной аппроксимации границ областей устойчивости получены условия устойчивости схем в виде неравенств на значения параметра Куранта. Оптимальные значения параметра для регулирования диссипативных и дисперсионных эффектов предлагается находить посредством решения задач минимизации функций максимума. Схемы с оптимальными значениями параметра применяются при решении тестовых задач - для одномерного и двумерного уравнений переноса, а также при применении метода расщепления к решению задачи о течении в каверне с подвижной крышкой. This paper is devoted to the analysis and optimization of explicit finite-difference schemes for solving the transport equations arising at the advection stage in the method of splitting into physical processes. The method can be applied to the lattice Boltzmann equations and to the kinetic equations of general type. The second-to-fourth order schemes are considered. In order to minimize the effect of numerical dispersion and dissipation, the parametric schemes are used. The Neumann method and the polynomial approximation of the boundaries of stability domains are employed to obtain the stability conditions in the form of inequalities imposed on the Courant parameter. The optimal values of the parameter used to control the dissipation and dispersion effects are found by minimizing the maximum function. The schemes with optimal parameters are applied for the numerical solution of 1D and 2D advection equations and for the problem of lid-driven cavity flow.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document