scholarly journals A representation-theoretic proof of the branching rule for Macdonald polynomials

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Yi Sun
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Matrix Elements ◽  
Essential Ingredient ◽  
Double Affine Hecke Algebras ◽  
Theoretic Proof ◽  
Branching Rule ◽  
Nous Montrons ◽  
Affine Hecke Algebras ◽  
International Audience ◽  
Simple Kernel

International audience We give a new representation-theoretic proof of the branching rule for Macdonald polynomials using the Etingof-Kirillov Jr. expression for Macdonald polynomials as traces of intertwiners of $U_q(gl_n)$. In the Gelfand-Tsetlin basis, we show that diagonal matrix elements of such intertwiners are given by application of Macdonald's operators to a simple kernel. An essential ingredient in the proof is a map between spherical parts of double affine Hecke algebras of different ranks based upon the Dunkl-Kasatani conjecture. Nous donnons une nouvelle preuve représentation-théorique de la règle de branchement pour les polynômes de Macdonald en utilisant l’expression Etingof-Kirillov Jr. pour les polynômes de Macdonald comme des traces de intertwiners de $U_q(gl_n)$. Dans la base de Gelfand-Tsetlin, nous montrons que les éléments de matrice diagonaux de ces intertwiners sont donnés par action des opérateurs de Macdonald à un noyau simple. Un ingrédient essentiel dans la preuve est une application entre les parties sphériques des algèbres de Hecke double affines de rangs différents basés sur la conjecture Dunkl-Kasatani.

scholarly journals Macdonald polynomials at $t=q^k$

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Macdonald Polynomials ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We investigate the homogeneous symmetric Macdonald polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ for the specialization $t=q^k$. We show an identity relying the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ and $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. As a consequence, we describe an operator whose eigenvalues characterize the polynomials $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous nous intéressons aux propriétés des polynômes de Macdonald symétriques $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,t)$ pour la spécialisation $t=q^k$. En particulier nous montrons une égalité reliant les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$ et $P_{\lambda} (\frac{1-q}{1-q^k}\mathbb{X} ;q,q^k)$. Nous en déduisons la description d'un opérateur dont les valeurs propres caractérisent les polynômes $P_{\lambda} (\mathbb{X} ;q,q^k)$.

scholarly journals Crystal energy via charge

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cristian Lenart ◽  
Anne Schilling
Keyword(s):  
Energy Function ◽  
Tensor Products ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Recursive Definition ◽  
R Matrix ◽  
Single Column ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Definition Of

International audience The Ram–Yip formula for Macdonald polynomials (at t=0) provides a statistic which we call charge. In types ${A}$ and ${C}$ it can be defined on tensor products of Kashiwara–Nakashima single column crystals. In this paper we show that the charge is equal to the (negative of the) energy function on affine crystals. The algorithm for computing charge is much simpler than the recursive definition of energy in terms of the combinatorial ${R}$-matrix. La formule de Ram et Yip pour les polynômes de Macdonald (à t = 0) fournit une statistique que nous appelons la charge. Dans les types ${A}$ et ${C}$, elle peut être définie sur les produits tensoriels des cristaux pour les colonnes de Kashiwara–Nakashima. Dans ce papier, nous montrons que la charge est égale à (l'opposé de) la fonction d'énergie sur cristaux affines. L'algorithme pour calculer la charge est bien plus simple que la définition récursive de l'énergie en fonction de la ${R}$-matrice combinatoire.

scholarly journals The elliptic Hall algebra, Cherednik Hecke algebras and Macdonald polynomials

2010 ◽  
Vol 147 (1) ◽  
pp. 188-234 ◽  
Author(s):  
O. Schiffmann ◽  
E. Vasserot
Keyword(s):  
Finite Field ◽  
Elliptic Curve ◽  
Moduli Space ◽  
Vector Bundles ◽  
Hecke Algebras ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Hall Algebra ◽  
Double Affine Hecke Algebras ◽  
Affine Hecke Algebras ◽  
Semistable Vector Bundles

AbstractWe exhibit a strong link between the Hall algebra HX of an elliptic curve X defined over a finite field 𝔽l (or, more precisely, its spherical subalgebra U+X) and Cherednik’s double affine Hecke algebras $\ddot {\mathbf {H}}_n$ of type GLn, for all n. This allows us to obtain a geometric construction of the Macdonald polynomials Pλ(q,t−1) in terms of certain functions (Eisenstein series) on the moduli space of semistable vector bundles on the elliptic curve X.

scholarly journals Demazure crystals and the energy function

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Anne Schilling ◽  
Peter Tingley
Keyword(s):  
Energy Function ◽  
Tensor Products ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Close Connection ◽  
Whittaker Functions ◽  
Nous Obtenons ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Demazure Character ◽  
Demazure Crystals

International audience There is a close connection between Demazure crystals and tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals. For example, certain Demazure crystals are isomorphic as classical crystals to tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals via a canonically chosen isomorphism. Here we show that this isomorphism intertwines the natural affine grading on Demazure crystals with a combinatorially defined energy function. As a consequence, we obtain a formula of the Demazure character in terms of the energy function, which has applications to nonsymmetric Macdonald polynomials and $q$-deformed Whittaker functions. Les cristaux de Demazure et les produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin sont étroitement liés. Par exemple, certains cristaux de Demazure sont isomorphes, en tant que cristaux classiques, à des produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin via un isomorphisme que l'on peut choisir canoniquement. Ici, nous montrons que cet isomorphisme entremêle la graduation affine naturelle des cristaux de Demazure avec une fonction énergie définie combinatoirement. Comme conséquence, nous obtenons une formule pour le caractère de Demazure exprimée au moyen de la fonction énergie, avec des applications aux polynômes de Macdonald non symétriques et aux fonctions de Whittaker $q$-déformées.

scholarly journals Staircase Macdonald polynomials and the $q$-Discriminant

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Adrien Boussicault ◽  
Jean-Gabriel Luque
Keyword(s):  
Symmetric Functions ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Macdonald Polynomial ◽  
Monomial Basis ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Nous Examinons

International audience We prove that a $q$-deformation $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ of the powers of the discriminant is equal, up to a normalization, to a specialization of a Macdonald polynomial indexed by a staircase partition. We investigate the expansion of $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ on different bases of symmetric functions. In particular, we show that its expansion on the monomial basis can be explicitly described in terms of standard tableaux and we generalize a result of King-Toumazet-Wybourne about the expansion of the $q$-discriminant on the Schur basis. Nous montrons qu’une $q$-déformation $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ des puissances du discriminant est égale, à un coefficient de normalisation près, à un polynôme de Macdonald indexé par une partition escalier pour une certaine spécialisation des paramètres. Nous examinons les développements de $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ dans différentes bases de fonctions symétriques. En particulier, nous montrons que son écriture dans la base des fonctions monomiales peut être explicitement décrite en terme de tableaux standard et nous généralisons un résultat de King-Toumazet-Wybourne sur le développement du $q$-discriminant dans la base de Schur.

scholarly journals An extension of MacMahon's Equidistribution Theorem to ordered multiset partitions

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Andrew Timothy Wilson
Keyword(s):  
Classical Result ◽  
Macdonald Polynomials ◽  
Major Index ◽  
Insertion Method ◽  
Inversion Number ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Nous Appellerons ◽  
Comme Application

International audience A classical result of MacMahon states that inversion number and major index have the same distribution over permutations of a given multiset. In this work we prove a strengthening of this theorem originally conjectured by Haglund. Our result can be seen as an equidistribution theorem over the ordered partitions of a multiset into sets, which we call ordered multiset partitions. Our proof is bijective and involves a new generalization of Carlitz's insertion method. As an application, we develop refined Macdonald polynomials for hook shapes. We show that these polynomials are symmetric and give their Schur expansion. Un résultat classique de MacMahon affirme que nombre d’inversion et l’indice majeur ont la même distribution sur permutations d’un multi-ensemble donné. Dans ce travail, nous démontrons un renforcement de ce théorème origine conjecturé par Haglund. Notre résultat peut être considéré comme un théorème d’équirépartition sur les partitions ordonnées d’un multi-ensemble en ensembles, que nous appellerons partitions de multiset commandés. Notre preuve est bijective et implique une nouvelle généralisation de la méthode d’insertion de Carlitz. Comme application, nous développons des polynômes de Macdonald raffinés pour formes d’hameçons. Nous montrons que ces polynômes sont symétriques et donnent leur expansion Schur.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document