Répartition jointe dans les classes de résidus de la somme des chiffres pour deux représentations d’Ostrowski

Résumé. Pour deux entiers [Formula: see text], nous posons [Formula: see text] et [Formula: see text] (où [Formula: see text]) et nous notons respectivement [Formula: see text] et [Formula: see text] les fonctions sommes des chiffres dans les [Formula: see text] et [Formula: see text]-représentations d’Ostrowski de [Formula: see text]. Soient [Formula: see text] des entiers positifs tels que [Formula: see text] et [Formula: see text], nous obtenons une estimation en [Formula: see text] avec un terme d’erreur [Formula: see text] pour le cardinal de l’ensemble suivant [Formula: see text] pour tous les entiers [Formula: see text] et [Formula: see text] Notre résultat peut être comparé à celui de Bésineau et Kim qui ont traité le cas des [Formula: see text]-représentations dans différentes bases (qui sont premières entre elles). For two distinct integers [Formula: see text], we set [Formula: see text] and [Formula: see text] (where [Formula: see text] is the continued fraction [Formula: see text]) and we let [Formula: see text] and [Formula: see text] denote respectively, the sum of digits functions in the Ostrowski [Formula: see text] and [Formula: see text]-representations of [Formula: see text]. Let [Formula: see text] be positive integers satisfying [Formula: see text] and [Formula: see text], we obtain an estimation [Formula: see text] with an error term [Formula: see text] for the cardinality of the following set [Formula: see text] for all integers [Formula: see text] and [Formula: see text] Our result should be compared to that of Bésineau and Kim who addressed the case of the [Formula: see text]-representations in different bases (that are coprime).

Numéro 163 - avril 2021

Parmi les principaux indicateurs macroéconomiques, le chiffre de croissance trimestrielle du PIB permet d’évaluer l’évolution récente de la situation économique générale d’un pays. Pour cette raison, ce chiffre constitue une source d’information précieuse pour guider les choix des acteurs économiques, notamment en ce qui concerne les décisions de politiques budgétaires et monétaires. Il s’avère cependant que les données de croissance trimestrielle du PIB ne sont disponibles qu’avec un certain délai. Dans le cas de la Belgique, une estimation préliminaire (dite estimation «flash») de la croissance économique pour un trimestre donné est publiée par l’Institut des Comptes Nationaux (ICN) environ 30 jours après la fin de ce trimestre. Un chiffre plus définitif, basé sur des données plus tangibles, est ensuite publié 60 jours après la fin du trimestre. Du fait de ces délais de publication, des méthodes ont été développées dans le but de produire un estimateur de la croissance du PIB en temps réel, appelé dans le jargon estimateur «nowcasting», qui soit suffisamment précis pour être utile à la prise de décision des acteurs économiques. Ces méthodes de «prévision en temps réel» sont aujourd’hui largement utilisées pour produire des estimations très précoces du PIB. Ce numéro de Regards économiques présente ces méthodes, et en donne une application pour la zone euro, la Belgique et la Wallonie. Une application concrète concerne la prévision de croissance du PIB pour le premier trimestre 2021. Ainsi, sur base des statistiques disponibles à la fin mars, nous obtenons une prévision de la croissance trimestrielle du PIB de + 0,2 % pour la zone euro, de + 1,0 % pour la Belgique et de + 0,7 % pour la Wallonie. Dans le cas de la Wallonie, nous produisons à partir de ces méthodes des données trimestrielles de croissance du PIB, lesquelles n’existent pas pour l’instant. Ainsi, pour 2020, la croissance économique de la Wallonie est estimée à - 4,1 % au 1er trimestre, 12,6 % au 2ème trimestre, + 9,1 % au 3ème trimestre et + 0,1 % au 4ème trimestre. Pour la Belgique, les données de croissance correspondantes, lesquelles sont déjà disponibles, sont de - 3,4 % au 1er trimestre, - 11,8 % au 2ème trimestre, 11,6 % au 3ème trimestre et - 0,2 % au 4ème trimestre. La croissance annuelle de la Wallonie pour 2020 est estimée à - 8,8 %, un chiffre inférieur à celui publié pour la Belgique (- 6,3 %).

Stabilité forte des systèmes et réseaux de files d’attente : synthèse et perspectives

Dans ce chapitre, nous présentons une synthèse des résultats sur l’application de la méthode de stabilité forte à l’étude de la robustesse des systèmes et des réseaux de files d’attente. En plus de l’affirmation qualitative de la stabilité forte, nous obtenons souvent des bornes de perturbation. Enfin, l’utilisation des méthodes d’estimation non paramétrique de densité dans ce contexte est discutée.

Named Entity Recognition in Low-resource Languages using Cross-lingual distributional word representation

International audience Named Entity Recognition (NER) is a fundamental task in many NLP applications that seek to identify and classify expressions such as people, location, and organization names. Many NER systems have been developed, but the annotated data needed for good performances are not available for low-resource languages, such as Cameroonian languages. In this paper we exploit the low frequency of named entities in text to define a new suitable cross-lingual distributional representation for named entity recognition. We build the first Ewondo (a Bantu low-resource language of Cameroon) named entities recognizer by projecting named entity tags from English using our word representation. In terms of Recall, Precision and F-score, the obtained results show the effectiveness of the proposed distributional representation of words La reconnaissance des entités nommées (REN) est une tâche fondamentale du TALN dont le but est d'identifier les expressions telles que les noms de personnes, de lieux et d'organisations dans un texte. Il existe de nos jours plusieurs systèmes de REN, cependant les données nécessaires pour les utiliser dans le traitement des langues peu dotées telles que les langues camerounaises ne sont pas disponibles. Nous exploitons le fait que les entités nommées apparaissent rarement dans les textes pour définir une nouvelle représentation distributionnelle interlingue des mots, qui soit adaptée à la REN. En utilisant notre représentation, nous projectons les entités nommées de l'anglais vers l'ewondo (une langue bantou du Cameroun); nous obtenons donc le tout premier modèle de reconnaissance des entités nommées en langue ewondo. Les résultats en terme de précision, rappel et f-mesure montrent l'efficacité de notre représentation

Numéro 151 - octobre 2019

Une opinion publique favorableLes décisions d’augmenter l’âge légal à la pension et de «durcir» les conditions de carrière et d’âge pour accéder à la pension anticipée ont remis au centre de la concertation sociale la question de la pénibilité des métiers. Des sondages révèlent que plus de 80 % de la population est favorable à la prise en compte de la pénibilité dans la détermination des conditions d’accès à la pension. La question se pose alors de savoir comment identifier les métiers pénibles. C’est difficile mais ce n’est pas impossible. Quels critères utiliser ?Si l’on regarde les autres pays européens, on doit admettre que la liste des métiers pénibles est parfois folklorique : les toreros en Espagne, les danseurs (sirtaki) en Grèce ou les musiciens jouant d’instrument à vent en Pologne. En Belgique, le rapport des conciliateurs Soete et de Callataÿ mentionne que les partenaires sociaux s’accordent sur le fait que «les éléments de pénibilité doivent être établis de façon objective, mesurable, contrôlable et facilement enregistrable».Deux approches distinctes peuvent être utilisées : une approche (directe) basée sur les conditions de travail, et une approche (indirecte) basée sur l’impact du métier sur la santé et la mortalité. La pénibilité sur base des conditions travailL’approche directe des conditions de travail est la voie qui avait été suivie par le gouvernement Michel Ier. Quatre critères avaient été définis par les partenaires sociaux : le travail physique lourd, l’organisation du travail pesante (en équipe, travail de nuit), les risques pour la sécurité accrus et la charge mentale et émotionnelle. Il avait été établi que si la profession répondait à un (resp., deux, trois) de ces critères, la durée de carrière requise pour une pension anticipée serait réduite de 5 % (resp. 10 %, 15 %). Cette réforme est aujourd’hui dans une impasse.Cette approche est selon nous inadéquate et mène à des discussions sans fin sur la pondération entre les différents critères.Nous proposons donc l’approche indirecte qui offre un raccourci en se limitant à objectiver l’impact du métier sur la santé. Juger de la pénibilité d’un métier sans regarder son incidence sur la santé c’est comme juger de la qualité d’un plat sans le goûter. La pénibilité sur base de la mortalitéNotre premier indicateur consiste à identifier les emplois avec un risque de mortalité élevé. Concrètement, nous utilisons une base de données américaine qui comporte 1.835.072 individus et renseigne leurs niveaux de salaire, d’études ainsi que leurs professions au moment de l’enquête, rassemblées en 91 «groupes de métiers». Ces personnes sont suivies durant 11 années afin de répertorier leurs (éventuelles) dates de décès. Nous observons 160.750 décès, ce qui signifie que91,24 % des individus sont encore en vie à la fin du suivi. Nos résultats montrent qu’il existe un différentiel substantiel de longévité entre différents métiers à âge équivalent. Par exemple, si l’on considère l’espérance de vie d’un homme à 25 ans, nos résultats révèlent que les serveurs, les infirmiers, les militaires ou les métallurgistes ont une longévité sensiblement plus faible (7 ans de moins) que les enseignants, les ingénieurs ou les architectes. On pourrait penser que ce résultat est lié aux différences de revenus ou de genre. Mais si l’on tient compte de ces différences entre métiers nous obtenons une même hiérarchie avec le métier d’enseignant dont la pénibilité relative n’est pas avérée. La pénibilité sur base de la santéL’espérance de vie n’est pas suffisante pour évaluer la pénibilité; car l’espérance de vie en bonne santé (morbidité) est aussi importante. Cependant, contrairement à la mortalité, celle-ci est plus difficile à appréhender. Nous utilisons dans notre analyse la santé autoévaluée (SAE) qui se base sur la question «Comment évaluez-vous votre santé ?» sur une échelle comportant 5 réponses (très bonne, bonne, moyenne, mauvaise et très mauvaise). Nous utilisons une base de donnée européenne qui contient 43.850 individus, avec leur métier, leur niveau d’études, leur salaire et leur SAE. Nous estimons la probabilité de se déclarer en bonne/très bonne santé pour un métier donné (par rapport à une profession de référence), en tenant compte de l’effet sur la santé d’autres facteurs comme le genre, l’âge, le niveau d’études, le salaire et le statut d’indépendant. Nos résultats révèlent par exemple que par rapport aux enseignants, les agriculteurs ou travailleurs du bâtiment ont 41 % moins de chances de se déclarer en bonne santé, les métallurgistes ou techniciens de surface 35% moins de chances, et les policiers ou services de protection 20 % moins de chances.Il convient de préciser que nos résultats sont partiels car faute de données plus exhaustives et détaillées nous ne pouvons distinguer la pénibilité de certains métiers. Nos résultats sont aussi basés sur des données américaines et européennes car nous n’avons pu, à ce stade, nous procurer les données belges. C’est donc un appel à la poursuite de cette analyse de la pénibilité basée sur des données belges de santé et de mortalité. En Belgique les données nécessaires à cette analyse existent via la Banque Carrefour de la Sécurité Sociale. Il faut aussi préciser que la pénibilité varie dans le temps et l’espace et que les indicateurs de pénibilité doivent être recalculés selon la situation et l’époque dans lesquelles ils sont utilisés. Etre policier en période d’alerte terroriste ne présente pas le même risque qu’être policier en temps normal.

𝒟-modules arithmétiques sur la variété de drapeaux

Soient p un nombre premier, V un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (0,p) , et G un groupe réductif et deployé sur \operatorname{Spec}V . Nous obtenons un théorème de localisation, en utilisant les distributions arithmétiques, pour le faisceau des opérateurs différentiels arithmétiques sur la variété de drapeaux formelle de G. Nous donnons une application à la cohomologie rigide pour des ouverts dans la variété de drapeaux en caractéristique p. Let p be a prime number, V a complete discrete valuation ring of unequal characteristics (0,p) , and G a connected split reductive algebraic group over \operatorname{Spec}V . We obtain a localization theorem, involving arithmetic distributions, for the sheaf of arithmetic differential operators on the formal flag variety of G. We give an application to the rigid cohomology of open subsets in the characteristic p flag variety.

Chronic myeloid leukemia model with periodic pulsed treatment

In this work we develop a mathematical model of chronic myeloid leukemia including treatment with instantaneous effects. Our analysis focuses on the values of growth rate γ which give either stability or instability of the disease free equilibrium. If the growth rate γ of sensitive leukemic stem cells is less than some threshold γ * , we obtain the stability of disease free equilibrium which means that the disease is eradicated for any period of treatment τ 0. Otherwise, for γ great than γ * , the period of treatment must be less than some specific value τ * 0. In the critical case when the period of treatment is equal to τ * 0 , we observe a persistence of the tumor, which means that the disease is viable. Dans ce travail, nous développons un modèle mathématique de la leucémie myéloïde chronique avec un traitement à effets instantanés. Notre analyse se focalise sur les valeurs du taux de croissance γ pour avoir la stabilité ou l'instabilité de l'équilibre sans maladie. Si le taux de croissance γ des cellules souches leucémiques sensibles est inférieur à un seuil γ * , nous obtenons la stabilité d'un équilibre sans maladie, ce qui signifie que la maladie sera éradiquée pour toute période de traitement τ 0. Sinon, pour γ supérieur à γ * , la durée du traitement doit être inférieure à une valeur spécifique τ * 0. Dans le cas critique où la période de traitement est égale à τ * 0 , nous observons une persistance de la tumeur, ce qui signifie que la maladie est viable.

Sur une conjecture de Breuil–Herzig

Soit G un groupe réductif p-adique de centre connexe et de groupe dérivé simplement connexe. Nous montrons que certaines “chaînes ” de séries principales de G n’existent pas et nous établissons plusieurs propriétés de la construction \Pi(\rho)^{\mathrm{ord}} de Breuil–Herzig. En particulier, nous obtenons une caractérisation naturelle de cette dernière et nous démontrons une conjecture de Breuil–Herzig. Pour cela, nous calculons le δ-foncteur \mathrm{H^{\bullet}Ord}_{P} des parties ordinaires dérivées d’Emerton relatif à un sous-groupe parabolique P de G sur une série principale. Nous énonçons une nouvelle conjecture sur les extensions entre représentations lisses modulo p de G obtenues par induction parabolique à partir de représentations supersingulières de sous-groupes de Levi de G et nous la démontrons pour les extensions par une série principale. Let G be a split p-adic reductive group with connected centre and simply connected derived subgroup. We show that certain “chains” of principal series of G do not exist and we establish several properties of the Breuil–Herzig construction \Pi(\rho)^{\mathrm{ord}}. In particular, we obtain a natural characterization of the latter and we prove a conjecture of Breuil–Herzig. In order to do so, we partially compute Emerton’s δ-functor \operatorname{H^{\bullet}Ord}_{P} of derived ordinary parts with respect to a parabolic subgroup on a principal series. We formulate a new conjecture on the extensions between smooth mod p representations of G parabolically induced from supersingular representations of Levi subgroups of G and we prove it in the case of extensions by a principal series.

Numéro 82 - novembre 2010

En Belgique, sur la période 1991-2009, la croissance totale du niveau général des prix à la consommation fut de 43 % et celle des coûts salariaux par unité produite de 42 %. Sur cette même période, les données pour la zone euro indiquent une progression des prix à la consommation de 49 % et une progression des coûts salariaux par unité produite de 44 %. Ces quelques chiffres livrent au moins deux constats : ° Tant en Belgique que dans la zone euro, la croissance totale des prix à la consommation et celle des coûts salariaux furent assez similaires sur la période considérée; ° La croissance totale du coût salarial a été quasiment identique en Belgique et dans la zone euro alors que la croissance totale des prix à la consommation fut plus faible en Belgique que dans la zone euro. Sur base de ces constats, nous nous intéressons, dans ce numéro de Regards économiques, aux déterminants macroéconomiques de l’évolution des coûts salariaux et des prix en Belgique. Nous tentons notamment de mieux comprendre comment les coûts salariaux et les prix évoluent l’un par rapport à l’autre. Nous examinons également si les caractéristiques de la relation causale existant entre les prix et les coûts salariaux sont les mêmes en Belgique que dans l’ensemble de la zone euro. Notre étude confirme que, en Belgique, les évolutions à long terme des prix et des coûts salariaux sont très étroitement liées. D’après notre analyse, cela tient au fait que, à long terme, l’évolution des coûts salariaux tend à suivre l’évolution des prix. Nous obtenons notamment comme résultat qu’une hausse permanente du niveau général des prix à la consommation de 10 % entraîne, en Belgique, une augmentation permanentedes coûts salariaux par unité produite de 9 %. D’après notre analyse, il existe également une relation de causalité des coûts salariaux vers les prix. Il s’agit ici d’un lien entre la croissance des coûts salariaux et la croissance des prix (l’inflation), selon lequel une hausse temporaire de la croissance des coûts salariaux entraîne un relèvement du rythme d’inflation. L’impact sur l’inflation est néanmoins peu important et intervient longtemps après le choc sur les coûts salariaux. Nos résultats pour la zone euro révèlent que les caractéristiques de la relation prix-coûts salariaux dans la zone euro sont très similaires à celles pour la Belgique. Cependant, d’un point de vue quantitatif, nous relevons que l’ajustement des coûts salariaux à l’évolution des prix est plus fort en Belgique que dans la zone euro. Nos résultats montrent en effet que : l’impact à long terme d’une hausse permanente des prix sur le coût salarial est plus grand en Belgique que dans la zone euro; et que l’ajustement des coûts salariaux à une hausse permanente des prix est deux fois plus rapide en Belgique que dans la zone euro. Notre analyse ne nous permet pas de déterminer quels sont les facteurs qui expliquent ces différences quantitatives relevées dans la relation prix-coût salarial entre la Belgique et la zone euro. Toutefois, dans la mesure où il y a tout lieu de considérer qu’il s’agit de facteurs structurels, le mécanisme d’indexation des salaires qui est unique à la Belgique constitue un facteur potentiel d’explication.

Numéro 103 - mars 2013

A une époque où les restructurations et les licenciements collectifs sont omniprésents, les perspectives en cas de perte d'emploi apparaissent extrêmement sombres. Pour objectiver cette perception, ce numéro de Regards économiques quantifie le nombre global de demandeurs d'emploi wallons par offre d'emploi en 2012. On entend souvent dire qu'il y aurait globalement une opportunité d'emploi pour environ 40 demandeurs d'emploi sur le territoire wallon. Nous expliquons en quoi le mode de calcul sur lequel repose cet ordre de grandeur est critiquable et nous proposons une mesure améliorée du ratio moyen entre demandeurs d'emploi et emplois vacants en Wallonie. Selon notre calcul, il y avait, en 2012, de l'ordre de 5 demandeurs d'emploi wallons par opportunité d'emploi diffusée par le Forem. Ce nombre baisse davantage si l'on tient compte des offres d'emploi non publiées au Forem, des postes vacants intérimaires ou des offres transmises par les autres Régions ou d'autres partenaires du Forem. Nous concluons qu'il y a bien un manque relatif d'offres d'emploi par rapport au nombre de chômeurs en Wallonie, mais on est loin de l'ampleur habituellement rapportée. Soulignons toutefois que diviser un nombre total de demandeurs d'emploi par une mesure globale des emplois vacants n'apporte aucun éclairage sur les facteurs qui freinent la rencontre entre les demandeurs d'emploi et ces offres. "Le problème de la Wallonie, c'est le manque d'offres d'emploi", entend-on dire souvent. Pour étayer cette affirmation, d'aucuns s'appuient sur des statistiques renseignant le nombre de demandeurs d'emploi par offre d'emploi vacante. A titre d'exemple, le SPF Travail, Emploi et Concertation Sociale rapporte (voir http://www.emploi.belgique.be/moduledefault.aspx?id=21166#AutoAncher7, tableau IDH03) qu'en 2012, il y avait plus de 40 demandeurs d'emploi par opportunité d'emploi en Wallonie. Pour établir ce ratio, le SPF met en rapport, d'une part, le nombre de demandeurs d'emploi inoccupés wallons recensés par le Forem au 30 juin 2012 et, d'autre part, le nombre d'emplois vacants que ce même organisme recense (hors emplois intérimaires) et qui sont en suspens (c'est-à-dire non satisfaits) au 30 juin 2012. Ce mode de calcul est critiquable à plus d'un titre : Que nous apprend ce rapport qui divise un stock de chômeurs au 30 juin et un stock d'offres d'emploi en attente d'être satisfaites au même moment ? L'inverse de ce rapport, à savoir 1 divisé par 40, soit 2,5 %, nous renseigne la probabilité instantanée moyenne qu'un chômeur wallon trouve un emploi s'il n'y avait aucun frein à l'appariement. Les demandeurs d'emploi présents dans le stock le 30 juin 2012 avaient donc au mieux 2,5 % de chances de s'apparier le lundi 2 juillet 2012 avec un emploi vacant disponible dans le stock. Ce pourcentage est faible, mais il est normal que les chances de trouver une opportunité d'emploi soient d'autant plus petites que la durée pendant laquelle on est susceptible de trouver un emploi est courte (l'instant qui suit). Si on prend un horizon de temps plus long (comme celui d'une année), de nouvelles offres d'embauche apparaissent, celles qui étaient disponibles à la fin de mois de juin sont progressivement pourvues. Par ailleurs, des personnes entrent en chômage, renforçant la concurrence pour les emplois disponibles, tandis que d'autres quittent le chômage, atténuant cette même concurrence. En tenant compte de ces flux et en utilisant les mêmes concepts de chômage et d'emploi vacant que ceux du SPF, nous obtenons un ratio de 5 demandeurs d'emploi wallons par opportunité d'emploi en 2012, soit 8 fois moins que celui rapporté par le SPF. Le nombre de postes vacants pertinents pour les demandeurs d'emploi wallons se distingue du nombre d'offres d'emploi recensées par le Forem. Cette affirmation renvoie notamment au fait que le taux d'utilisation du Forem comme canal de recrutement par les employeurs wallons serait de l'ordre de 50 %. Si on inclut une correction des opportunités d'embauche en Wallonie pour celles non diffusées par le Forem, il y avait, en 2012, de l'ordre de 3 demandeurs d'emploi wallons par opportunité d'emploi sur le territoire wallon. Ce nombre augmente si on restreint les offres aux seuls contrats à durée indéterminée. Ce nombre baisse si l'on tient compte des offres d'emploi intérimaires ou encore des offres transmises par les autres Régions dans le cadre de l'accord sur l'échange systématique des offres d'emploi entre les organismes publics régionaux de l'emploi et d'autres partenaires. Ce regard sur la situation globale du marché du travail wallon en 2012 n'a naturellement pas valeur de prédiction pour 2013, qui devrait être, selon plusieurs sources, plus défavorable sur le plan des créations d'emploi et du chômage. Selon le Forem (Marché de l'Emploi, Février 2013, p. 5), en janvier 2013, «le nombre d'opportunités d'emploi diffusé par le Forem est en recul sur base annuelle : - 19,1 % par rapport à janvier 2012. Cette baisse ne concerne pas celles bénéficiant d'aides publiques (+ 2,8 %)». En janvier 2013, le nombre de demandeurs d'emploi inoccupés wallons était quant à lui supérieur de 1 % par rapport à janvier 2012.