On the Cauchy problem associated with the Brinkman flow in

In this study, we continue our study of the Cauchy problem associated with the Brinkman equations [see (1.1) and (1.2) below] which model fluid flow in certain types of porous media. Here, we will consider the flow in the upper half-space \[ \mathbb{R}_{+}^{3}=\left\{\left(x,y,z\right) \in\mathbb{R}^{3}\left\vert z\geqslant 0\right.\right\}, \] under the assumption that the plane $z=0$ is impenetrable to the fluid. This means that we will have to introduce boundary conditions that must be attached to the Brinkman equations. We study local and global well-posedness in appropriate Sobolev spaces introduced below, using Kato's theory for quasilinear equations, parabolic regularization and a comparison principle for the solutions of the problem.

Global Hölder continuity of solutions to quasilinear equations with Morrey data

We deal with general quasilinear divergence-form coercive operators whose prototype is the [Formula: see text]-Laplacean operator. The nonlinear terms are given by Carathéodory functions and satisfy controlled growth structure conditions with data belonging to suitable Morrey spaces. The fairly non-regular boundary of the underlying domain is supposed to satisfy a capacity density condition which allows domains with exterior corkscrew property. We prove global boundedness and Hölder continuity up to the boundary for the weak solutions of such equations, generalizing this way the classical [Formula: see text]-result of Ladyzhenskaya and Ural’tseva to the settings of the Morrey spaces.

Variants of the Hodograph Method for Solving a System of Two Quasilinear Equations

Строится решение задачи Коши для системы двух квазилинейных однородных уравнений в частных производных первого порядка при помощи метода годографа, позволяющего преобразовать решение квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к решению некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с~переменными коэффициентами. Показано, что различные варианты метода годографа - стандартного, на основе закона сохранения и обобщенного метода годографа, позволяющие строить решение задачи Коши в неявной форме, в конечном итоге, приводят к одному и тому же результату и отличаются лишь объемом технической работы. Доказательство осуществляется путем вычисления инвариантов Лапласа для канонической формы линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. В случае, когда уравнения допускают явную связь исходных переменных с инвариантами Римана и соответствующее линейное уравнение метода годографа позволяет указать явную форму функции Римана - Грина, описан способ построения явного решения на линиях уровня неявного решения. Задача Коши для системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка сводится к задаче Коши для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера приведено точное неявное решение для системы слабо-нелинейных уравнений. Все рассмотренные методы и способ построения явного решения можно применять для уравнений гиперболического и эллиптического типов. В случае гиперболических уравнений возможно построение автомодельных и разрывных решений (после добавления условий на разрывах), а также решений многозначных по пространственной координате (если такие решения допускаются постановкой задачи). Несмотря на то, что на заключительном этапе метода задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений приходится решать численно, никаких аппроксимаций уравнений в частных производных, типичных для конечно-разностного метода, метода конечных элементов, метода конечных объемов и т. п. не используется. Метод является точным в том смысле, что погрешность вычислений связана лишь с точностью интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

The Existence of Nontrivial Solutions to a Class of Quasilinear Equations

In this paper, we study the following quasilinear equation: − div ϕ ∇ u ∇ u + ϕ u u = f u in ℝ N , where ϕ ∈ C 1 ℝ + , ℝ + and Φ t = ∫ 0 t s ϕ ∣ s ∣ d s . In the Orlicz-Sobolev space, by variational methods and a minimax theorem, we prove the equation has a nontrivial solution.