Solutions of nonlinear difference equations in the domain of $(\zeta _{n})$-Cesàro matrix in $\ell _{t(\cdot)}$ of nonabsolute type, and its pre-quasi ideal

We have constructed the sequence space $(\Xi (\zeta ,t) )_{\upsilon }$ ( Ξ ( ζ , t ) ) υ , where $\zeta =(\zeta _{l})$ ζ = ( ζ l ) is a strictly increasing sequence of positive reals tending to infinity and $t=(t_{l})$ t = ( t l ) is a sequence of positive reals with $1\leq t_{l}<\infty $ 1 ≤ t l < ∞ , by the domain of $(\zeta _{l})$ ( ζ l ) -Cesàro matrix in the Nakano sequence space $\ell _{(t_{l})}$ ℓ ( t l ) equipped with the function $\upsilon (f)=\sum^{\infty }_{l=0} ( \frac{ \vert \sum^{l}_{z=0}f_{z}\Delta \zeta _{z} \vert }{\zeta _{l}} )^{t_{l}}$ υ ( f ) = ∑ l = 0 ∞ ( | ∑ z = 0 l f z Δ ζ z | ζ l ) t l for all $f=(f_{z})\in \Xi (\zeta ,t)$ f = ( f z ) ∈ Ξ ( ζ , t ) . Some geometric and topological properties of this sequence space, the multiplication mappings defined on it, and the eigenvalues distribution of operator ideal with s-numbers belonging to this sequence space have been investigated. The existence of a fixed point of a Kannan pre-quasi norm contraction mapping on this sequence space and on its pre-quasi operator ideal formed by $(\Xi (\zeta ,t) )_{\upsilon }$ ( Ξ ( ζ , t ) ) υ and s-numbers is presented. Finally, we explain our results by some illustrative examples and applications to the existence of solutions of nonlinear difference equations.

Dynamical behavior of a P-dimensional system of nonlinear difference equations

In this paper, we study the periodicity, the boundedness of the solutions, and the global asymptotic stability of the positive equilibrium of the system of p nonlinear difference equations x n + 1 ( 1 ) = A + x n − 1 ( 1 ) x n ( p ) , x n + 1 ( 2 ) = A + x n − 1 ( 2 ) x n ( p ) , … , x n + 1 ( p − 1 ) = A + x n − 1 ( p − 1 ) x n ( p ) , x n + 1 ( p ) = A + x n − 1 ( p ) x n ( p − 1 ) $$\begin{equation*}x^{(1)}_{n+1}=A+\dfrac{x^{(1)}_{n-1}}{x^{(p)}_{n}},\quad x^{(2)}_{n+1}=A+\dfrac{x^{(2)}_{n-1}}{x^{(p)}_{n}},\quad\ldots,\quad x^{(p-1)}_{n+1}=A+\dfrac{x^{(p-1)}_{n-1}}{x^{(p)}_{n}},\quad x^{(p)}_{n+1}=A+\dfrac{x^{(p)}_{n-1}}{x^{(p-1)}_{n}} \end{equation*} $$ where n ∈ ℕ0, p ≥ 3 is an integer, A ∈ (0, +∞) and the initial conditions x − 1 ( j ) $x_{-1}^{(j)}$ , x 0 ( j ) $x_{0}^{(j)}$ , j = 1, 2, …, p are positive numbers.

On a class of difference equations with interlacing indices

Some results on the long-term behavior of solutions to a class of difference equations, which includes numerous nonlinear difference equations of various orders that attracted some attention in the last 15 years, are presented. We also present a natural connection among these difference equations, compare some results on the equations with some other ones in the literature, and give a list of a considerable number of difference equations which can be treated in a similar way.

Study of the asymptotic behavior of the solutions of nonlinear difference equations and systems of difference equations

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, μελετάται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων μη-γραμμικών εξισώσεων διαφορών και συστημάτων εξισώσεων διαφορών. Πιο συγκεκριμένα, μελετάται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των μη-υπερβολικών μηδενικών σημείων ισορροπίας σε πρώτης τάξης 2x2 και 3x3 σχεδόν συμμετρικά και κυκλικά συστήματα εξισώσεων διαφορών με εκθετικούς όρους αντίστοιχα, και οι συνθήκες κάτω υπό τις οποίες εμφανίζονται διακλαδώσεις. Οι εξισώσεις διαφορών που μελετώνται περιγράφουν βιολογικά συστήματα και προέρχονται γενικότερα από τον χώρο της δυναμικής των πληθυσμών, ωστόσο μπορούν κατάλληλα να εφαρμοστούν σε μεγάλο εύρος διαφόρων επιστημονικών πεδίων.Η μελέτη διενεργείται με την εφαρμογή της θεωρίας των κεντρικών πολλαπλοτήτων και την ανάλυση των συστημάτων σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων. Η θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων εφαρμόζεται για τη μελέτη της ευστάθειας μη-υπερβολικών σημείων ισορροπίας. Κεντρική πολλαπλότητα είναι ένα σύνολο Mc σε χώρο χαμηλότερων διαστάσεων, όπου η δυναμική συμπεριφορά του αρχικού συστήματος συμπίπτει με τη δυναμική συμπεριφορά του ισοδύναμου συστήματος στο σύνολο Mc. Στην παρούσα διατριβή, μελετάται η δυναμική συμπεριφορά των μη υπερβολικών σημείων ισορροπίας 2x2 και 3x3 συστημάτων μη-γραμμικών εξισώσεων διαφορών διερευνώντας τη δυναμική τους συμπεριφορά σε μια μονοδιάστατη κεντρική πολλαπλότητα Mc.Διακλάδωση σε ένα δυναμικό σύστημα εμφανίζεται όταν μια μικρή μεταβολή στις τιμές των παραμέτρων προκαλεί μια έντονη ποιοτική αλλαγή στη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Η ανάλυση σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων βασίζεται στην τεχνική μετασχηματισμού των συνήθων εξισώσεων διαφορών σε συγκεκριμένους τύπους εξισώσεων διαφορών. Στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιώντας κατάλληλους μετασχηματισμούς συντεταγμένων, μετατρέπουμε το αρχικό σύστημα σε μια απεικόνιση η οποία παρουσιάζει ένα συγκεκριμένο είδος τοπικής διακλάδωσης. Εφαρμόζοντας την ανάλυση σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων, διερευνώνται οι συνθήκες υπό τις οποίες εξελίσσονται οι τοπικές διακλαδώσεις στα υπό μελέτη συστήματα. Στο Κεφάλαιο 1, παρατίθεται η βασική θεωρία και ορολογία που χρησιμοποιείται στην παρούσα διατριβή. Στο Κεφάλαιο 2, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας των δύο ακόλουθων σχεδόν συμμετρικών συστημάτων εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=ax_n+by_n e^(-x_n )y_(n+1)=cy_n+dx_n e^(-y_n )καιx_(n+1)=ay_n+bx_n e^(-y_n )y_(n+1)=cx_n+dy_n e^(-x_n )όπου a, b, c, d είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Μελετάται η ευστάθεια των συγκεκριμένων συστημάτων στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και η δεύτερη ιδιοτιμή έχει απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας, εφαρμόζοντας τη θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων. Στο Κεφάλαιο 3, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας των δύο ακόλουθων σχεδόν κυκλικών συστημάτων εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 x_n+b_1 y_n e^(-x_n )y_(n+1)=a_2 y_n+b_2 z_n e^(-y_n )z_(n+1)=a_3 z_n+b_3 x_n e^(-z_n )καιx_(n+1)=a_1 y_n+b_1 x_n e^(-y_n )y_(n+1)=a_2 z_n+b_2 y_n e^(-z_n )z_(n+1)=a_3 x_n+b_3 z_n e^(-x_n )όπου a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 και z_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Η ευστάθεια αυτών των συστημάτων μελετάται στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και οι υπόλοιπες ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας, εφαρμόζοντας τη θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων. Στο Κεφάλαιο 4, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας και η εμφάνιση διακλάδωσης διπλασιασμού περιόδου στο ακόλουθο σύστημα εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 z_n/(b_2+z_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )z_(n+1)=a_3 x_n/(b_3+x_n )+c_3 (z_n e^(k_3-d_3 z_n ))/(1+e^(k_3-d_3 z_n ) )όπου a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, για i=1,2,3, είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 και z_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Μελετάται το παραπάνω σύστημα στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και οι υπόλοιπες ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5, μελετώνται οι συνθήκες υπό τις οποίες στο ακόλουθο σχεδόν συμμετρικό σύστημα εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 x_n/(b_2+x_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )όπου a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, για i=1,2, είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 είναι πραγματικοί αριθμοί, εμφανίζεται Neimark-Shacker διακλάδωση, διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου και μετακρίσιμη διακλάδωση.

Kannan Contraction Operator on the Domain of r . -Cesàro Matrix in ℓ t . and Related Prequasi Ideal with an Application of Nonlinear Difference Equations

In this article, the sequence space Ξ r , t υ has been built by the domain of r l -Cesàro matrix in Nakano sequence space ℓ t l , where t = t l and r = r l are sequences of positive reals with 1 ≤ t l < ∞ , and υ f = ∑ l = 0 ∞ ∑ z = 0 l r z f z / ∑ z = 0 l r z t l , with f = f z ∈ Ξ r , t . Some topological and geometric behavior of Ξ r , t υ , the multiplication maps acting on Ξ r , t υ , and the eigenvalues distribution of operator ideal constructed by Ξ r , t υ and s -numbers have been examined. The existence of a fixed point of Kannan prequasi norm contraction mapping on this sequence space and on its prequasi operator ideal are investigated. Moreover, we indicate our results by some explanative examples and actions to the existence of solutions of nonlinear difference equations.

On a class of solvable difference equations generalizing an iteration process for calculating reciprocals

The well-known first-order nonlinear difference equation $$ y_{n+1}=2y_{n}-xy_{n}^{2}, \quad n\in {\mathbb {N}}_{0}, $$ y n + 1 = 2 y n − x y n 2 , n ∈ N 0 , naturally appeared in the problem of computing the reciprocal value of a given nonzero real number x. One of the interesting features of the difference equation is that it is solvable in closed form. We show that there is a class of theoretically solvable higher-order nonlinear difference equations that include the equation. We also show that some of these equations are also practically solvable.

QUALITATIVE BEHAVIOURS OF A SYSTEM OF NONLINEAR DIFFERENCE EQUATIONS

The paper aims to study the dynamics of a system of nonlinear difference equations x_(n+1)=x_(n-1) y_n+A,y_(n+1)=y_(n-1) x_n+A where A is real number. We especially investigate the stability of equilibrium points, convergence of equilibrium points, existence of periodic solutions, and existence of bounded solutions of related system. Moreover, we present some numerical examples to verify the theoretical results.