Regularity of solutions to anisotropic nonlocal equations

We study harmonic functions associated to systems of stochastic differential equations of the form $$dX_t^i=A_{i1}(X_{t-})dZ_t^1+\cdots +A_{id}(X_{t-})dZ_t^d$$ d X t i = A i 1 ( X t - ) d Z t 1 + ⋯ + A id ( X t - ) d Z t d , $$i\in \{1,\dots ,d\}$$ i ∈ { 1 , ⋯ , d } , where $$Z_t^j$$ Z t j are independent one-dimensional symmetric stable processes of order $$\alpha _j\in (0,2)$$ α j ∈ ( 0 , 2 ) , $$j\in \{1,\dots ,d\}$$ j ∈ { 1 , ⋯ , d } . In this article we prove Hölder regularity of bounded harmonic functions with respect to solutions to such systems.

The Tanaka formula for symmetric stable processes with index $\alpha$, $0<\alpha<2$

Для симметричного $\alpha$-устойчивого процесса $Z=(Z_t)_{t\ge0}$, $0<\alpha<2$, любого $a\in\mathbf{R}$ и $\gamma\in(0,2)$ такого, что $\alpha-1<\gamma<\alpha$, мы приводим в явном виде разложение Дуба-Мейера для субмартингала $|Z-a|^\gamma=(|Z_t-a|^{\gamma})_{t\ge0}$, состоящее из константы $|a|^{\gamma}$, стохастического интеграла по компенсированной пуассоновской случайной мере, ассоциированной с $Z$, и предсказуемого возрастающего процесса. Для $1<\alpha<2$ мы рассматриваем также случай $\gamma=\alpha-1$, соответствующий знаменитой формуле Танака. Это распространяет результаты Салминена и Йора [11] на общий случай $0<\alpha<2$ с использованием альтернативного подхода. Работы по близкой проблематике: Танака [13], Фитцсиммонс и Гетур [4], Т. Ямада [16] и К. Ямада [15].

A remark on positive sojourn times of symmetric processes

We show that under some slight assumptions, the positive sojourn time of a product of symmetric processes converges towards ½ as the number of processes increases. Monotony properties are then exhibited in the case of symmetric stable processes, and used, via a recurrence relation, to obtain upper and lower bounds on the moments of the occupation time (in the first and third quadrants) for two-dimensional Brownian motion. Explicit values are also given for the second and third moments in the n-dimensional Brownian case.