Spectral Analysis of One-Dimensional Dirac System with Summable Potential and Sturm- Liouville Operator with Distribution Coefficients

We consider one-dimensional Dirac operatorLP,U with Birkhoff regular boundary conditions and summable potential P(x) on[0, ]. We introduce strongly and weakly regular operators. In both cases, asymptotic formulas for eigenvalues are found. In these formulas, we obtain main asymptotic terms and estimates for the second term. We specify these estimates depending on the functional class of the potential: Lp[0,] with p [1,2] and the Besov space Bp,p'[0,] with p [1,2] and (0,1/p). Additionally, we prove that our estimates are uniform on balls Pp,R Then we get asymptotic formulas for normalized eigenfunctions in the strongly regular case with the same residue estimates in uniform metric on x [0,]. In the weakly regular case, the eigenvalues 2n and 2n+1 are asymptotically close and we obtain similar estimates for two-dimensional Riesz projectors. Next, we prove the Riesz basis property in the space (L2[0,])2 for a system of eigenfunctions and associated functions of an arbitrary strongly regular operatorLP,U. In case of weak regularity, the Riesz basicity of two-dimensional subspaces is proved. In parallel with theLP,U operator, we consider the SturmLiouville operator Lq,U generated by the differential -y'' + q(x)y expressionwith distribution potential q of first-order singularity (i.e., we assume that the primitive u = q(1) belongs to L2[0, ]) and Birkhoff-regular boundary conditions. We reduce to this case -(1y')'+i(y)'+iy'+0y, operators of more general form where '1,,0(-1)L2and 10. For operator Lq,U, we get the same results on the asymptotics of eigenvalues, eigenfunctions, and basicity as for operator LP,U . Then, for the Dirac operator LP,U, we prove that the Riesz basis constant is uniform over the ballsPp,R for p1 or 0. The problem of conditional basicity is naturally generalized to the problem of equiconvergence of spectral decompositions in various metrics. We prove the result on equiconvergence by varying three indices: fL[0,] (decomposable function), PL[0,] (potential), and Sm-Sm00,m in L[0,] (equiconvergence of spectral decompositions in the corresponding norm). In conclusion, we prove theorems on conditional and unconditional basicity of the system of eigenfunctions and associated functions of operator LP,U in the spaces L[0,],2, and in various Besov spaces Bp,q[0,].

Mixed Problem for a Homogeneous Wave Equation with a Nonzero Initial Velocity and a Summable Potential

For a mixed problem defined by a wave equation with a summable potential equal-order boundary conditions with a derivative and a zero initial position, the properties of the formal solution by the Fourier method are investigated depending on the smoothness of the initial velocity u′t(x, 0) = ψ(x). The research is based on the idea of A. N. Krylov on accelerating the convergence of Fourier series and on the method of contour integrating the resolvent of the operator of the corresponding spectral problem. The classical solution is obtained for ψ(x) ∈ W1p (1 < p ≤ 2), and it is also shown that if ψ(x) ∈ Lp[0, 1] (1 ≤ p ≤ 2), the formal solution is a generalized solution of the mixed problem.

On the Study of the Spectrum of a Functional-Differential Operator with a Summable Potential

В работе изучается функциональнодифференциальный оператор восьмого порядка с суммируемым потенциалом. Граничные условия являются разделенными. Функциональнодифференциальные операторы такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов, составленных из материалов различной плотности. Чтобы решить функциональнодифференциальное уравнение, задающее дифференциальный оператор, применяется метод вариации постоянных. Решение исходного функциональнодифференциального уравнения сведено к решению интегрального уравнения Вольтерры. Получившееся интегральное уравнение Вольтерры решается методом последовательных приближений Пикара. В результате исследования интегрального уравнения получены асимптотические формулы и оценки для решений функциональнодифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциального уравнения, определяющего дифференциальный оператор. Аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с гладкими и кусочногладкими коэффициентами устанавливаются асимптотические оценки решений исходного функциональнодифференциального уравнения. Полученные асимптотические формулы применяются для изучения граничных условий. В результате приходим к изучению корней функции, представленной в виде определителя восьмого порядка. Чтобы найти корни этой функции, необходимо изучить индикаторную диаграмму. Корни уравнения на собственные значения находятся в восьми секторах бесконечно малого раствора, определяемых индикаторной диаграммой. Изучены поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы и асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора.

Uniform Basis Property of the System of Root Vectors of the Dirac Operator

We study one-dimensional Dirac operator L on the segment [0,π] with regular in the sense of Birkhoff boundary conditions U and complex-valued summable potential P=(pij(x)), i,j=1,2. We prove uniform estimates for the Riesz constants of systems of root functions of a strongly regular operator L assuming that boundary-value conditions U and the number ∫(p1(x)-p4(x))dx are fixed and the potential P takes values from the ball B(0,R) of radius R in the space Lϰ for ϰ>1. Moreover, we can choose the system of root functions so that it consists of eigenfunctions of the operator L except for a finite number of root vectors that can be uniformly estimated over the ball ∥P∥ϰ≤R.

A Periodic Boundary Value Problem for a Fourth Order Differential Operator with a Summable Potential

Работа посвящена изучению дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом и периодическими граничными условиями. Метод изучения операторов с суммируемым потенциалом является развитием метода изучения операторов с кусочно-гладкими коэффициентами. Краевые задачи такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов, склеенных из материалов различной плотности. Решение дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор, сведено к решению интегрального уравнения Вольтерры. Интегральное уравнение решается методом последовательных приближений Пикара. Целью исследования интегрального уравнения является получение асимптотических формул и оценок для решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Вопросы геофизики, квантовой механики, кинетики, газодинамики и теории колебаний стержней, балок и мембран требуют развития асимптотических методов на случай негладких коэффициентов дифференциальных уравнений. Асимптотические методы продолжают развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, связанное с появлением мощных суперкомпьютеров, в настоящее время асимптотические и численные методы дополняют друг друга. В статье при больших значениях спектрального параметра получена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Асимптотические оценки решений устанавливаются аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами. Изучение периодических граничных условий приводит к изучению корней функции, представленной в виде определителя четвёртого порядка. Для получения корней этой функции изучена индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения находятся в четырех секторах бесконечно малого раствора, определяемых индикаторной диаграммой. В статье исследовано поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы. Найдена асимптотика собственных значений изучаемого дифференциального оператора. Полученные формулы для асимптотики собственных значений позволяют изучить спектральные свойства собственных функций исследуемого дифференциального оператора. Если потенциал оператора будет не суммируемой функцией, а только кусочно гладкой, то полученных формул для асимптотики собственных значений достаточно для вывода формулы первого регуляризованного следа изучаемого дифференциального оператора.