On the simulation of steady and unsteady incompressible flows using the finite volume approach and artificial compressibility concept on hybrid unstructured girds

Σε αυτή τη διατριβή παρουσιάζεται η ανάπτυξη και αξιολόγηση ενός κώδικα Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (CFD) για την προσομοίωση ροών ασυμπίεστου ρευστού. Ο κώδικας, που ονομάστηκε Galatea-I από τη νύμφη της αρχαίας ελληνικής μυθολογίας, χρησιμοποιεί τις εξισώσεις Navier-Stokes για ασυμπίεστα ρευστά, τροποποιημένες με τη μεθοδολογία της Τεχνητής Συμπιεστότητας (artificial compressibility) – που θεωρείται ανώτερη από τις μεθοδολογίες που χρησιμοποιούν διόρθωση της πίεσης για την συντήρηση της συνθήκης μη συμπίεσης του ρευστού, όπως η SIMPLE, ειδικά στην περίπτωση μόνιμων ροών – για την προσομοίωση ατριβών, στρωτών συνεκτικών και τυρβωδών ροών ασυμπίεστου ρευστού, μόνιμης αλλά και μη μόνιμης κατάστασης. Για την προσομοίωση της τύρβης γίνεται χρήση των Σταθμισμένων κατά Reynolds εξισώσεων Navier-Stokes (RANS), ενώ ο τανιστής των τάσεων που βρίσκεται στο συνεκτικό διάνυσμα ροής αναλύεται με βάση την υπόθεση Boussinesq σε δύο μέρη – ένα στρωτό και ένα τυρβώδες. Για τον υπολογισμό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και της τυρβώδους κινηματικής συνεκτικότητας γίνεται χρήση του μοντέλου τύρβης SST. Για τη χωρική διακριτοποίηση του μοντέλου ροής αλλά και του μοντέλου τύρβης εφαρμόστηκε ένα κεντροκομβικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών σε τρισδιάστατα υβριδικά μη δομημένα πλέγματα. Ο υπολογισμός των ατριβών διανυσμάτων ροής γίνεται με τον προσεγγιστικό επιλύτη του Roe για προβλήματα Riemann, ενώ οι μερικές παράγωγοι της ταχύτητας που είναι απαραίτητες για την εκτίμηση των συνεκτικών διανυσμάτων ροής, υπολογίζονται είτε με τη χρήση μιας στοιχειοκεντρικής μεθόδου, είτε με μεθοδολογία ακμών. Οι οριακές συνθήκες που εφαρμόζονται στα στερεά όρια είναι είτε ολίσθησης για ατριβείς ροές, είτε μη ολίσθησης για συνεκτικές, ενώ στα όρια εισόδου και εξόδου του υπολογιστικού χωρίου εφαρμόζονται οριακές συνθήκες που βασίζονται στη μέθοδο των χαρακτηριστικών μεταβλητών. Η ολοκλήρωση των εξισώσεων στον ψευδό-χρόνο γίνεται με μια ρητή μέθοδο Runge-Kutta τεσσάρων βημάτων (RK(4)), ενώ για την προσομοίωση μη μόνιμων ροών έχει ενσωματωθεί στον κώδικα μια διαδικασία δυϊκού χρονικού βήματος. Δύο μέθοδοι επιτάχυνσης έχουν ενσωματωθεί στον επιλύτη Galatea-I. Αρχικά, μια μέθοδος παράλληλης επεξεργασίας που βασίζεται στη μέθοδο διαμέρισης πεδίου (domain decomposition), όπου το αρχικό υπολογιστικό πλέγμα χωρίζεται σε μικρότερα υποπεδία, καθένα εκ των οποίων ανατίθεται σε ένα πυρήνα του επεξεργαστή και διαχειρίζεται ως αυτόνομο πλέγμα με εσωτερικά όρια όπου κατάλληλη πληροφορία αποστέλλεται από τα γειτονικά υποπεδία με το πρωτόκολλο MPI. Η δεύτερη μέθοδος επιτάχυνσης βασίζεται στη μεθοδολογία πολυπλέγματος με συσσωμάτωση, κατά την οποία ένας αριθμός από διαδοχικά αραιότερα πλέγματα κατασκευάζονται συγχωνεύοντας γειτονικούς όγκους ελέγχου των πυκνότερων πλεγμάτων και η επίλυση των εξισώσεων ροής και τύρβης γίνεται διαδοχικά σε όλα τα διαθέσιμα πλέγματα διαφορετικής πύκνωσης, βελτιώνοντας κατ’ αυτό τον τρόπο το ρυθμό σύγκλισης των επαναληπτικών διαδικασιών. Οι επιδόσεις του επιλύτη Galatea-I αξιολογήθηκαν με τη εφαρμογή του σε ένα αριθμό υποθέσεων δοκιμής μόνιμης και μη μόνιμης ροής, παρουσιάζοντας έτσι τις δυνατότητες της προτεινόμενης μεθοδολογίας σε ακρίβεια και αποδοτικότητα. Αν και πολλές από τις υποθέσεις δοκιμής που χρησιμοποιήθηκαν χαρακτηρίζονται ως πρότυπες για την αξιολόγηση επιλυτών ασυμπίεστης ροής, ο προτεινόμενος κώδικας χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση πιο περίπλοκων προβλημάτων, όπως το μοντέλο DARPA SUBOFF, και το μοντέλο αεροσκάφους DLR-F11 σε διάταξη υψηλής άντωσης. Όσον αφορά την τελευταία περίπτωση, αν και αποτελεί πρόβλημα για την προσομοίωση του οποίου χρησιμοποιούνται παραδοσιακά επιλύτες συμπιεστής ροής με πίνακες προπαρασκευής για την αντιμετώπιση των χαμηλών αριθμών Mach, ο επιλύτης Galatea-I παρουσίασε εξαιρετικά αποτελέσματα.

Implementation and Verification of High-Order Accurate Discontinuous Galerkin Method on 2-D Unstructured Grids

In this paper, the discontinuous Galerkin method (DG) is applied to solve the 2D Euler equation. DG can be easily used in the unstructured girds, which has advantages in dealing with problems with complex boundaries. High order accuracy is achieved by higher order polynomial approximations within elements. In order to capture the shock without oscillation, the limiter is also applied. The performance of DG is illustrated by three numerical experimental tests, which show the potential of DG in engineering applications. The vortex propagation problem is to verify high-order accuracy of DG, while Sob problem and forward step problem are used to illustrate the ability to capture shock.