Solution of the Boussinesq’s problem in evaluating ratio between shear stress and contact pressure

Решение фундаментальной задачи Буссинеска широко используется в технических науках и позволяет эффективно решать широкий спектр задач науки о лесозаготовительном производстве. На его основе удается получить практически значимые результаты в области оценки распределения напряжений, возникающих в обрабатываемом материале под воздействием рабочего органа. Цель нашего исследования - проанализировать результаты расчетов и установить соотношение максимального значения касательного напряжения и среднего значения давления по пятну контакта рабочего органа с обрабатываемом материалом. Теоретическую основу работы составляют уравнения распределения нормальных и касательных напряжений, возникающих в упругом полупространстве при вдавливании в него жесткого клина. В результате анализа теоретических расчетов показано, что характер затухания нормального напряжения по глубине деформируемого массива материала с высокой точностью аппроксимируется квадратичной функцией (на основе полученной приближенной функции выполнено сопоставление среднего давления по пятну контакта индентора с массивом и нормального напряжения по глубине массива). При этом, как показали результаты расчетов, функция распространения касательного напряжения в деформируемом массиве имеет экстремум. Выполнено сопоставление полученных данных по значению экстремума функции касательного напряжения со значением приближенной функции нормального напряжения на границе контакта индентора сдеформируемым массивом. В результате показано, что максимальное по модулю касательное напряжение составляет 11-12% среднего контактного давления. Расчеты проведены при варьировании коэффициента Пуассона материала массива, установленное соотношение остается практически неизменным. Solution of fundamental Boussinesq’s problem is widely used in technical sciences and allows effectively solving a wide range of problems in forestry science. On its basis, it is possible to obtain practically significant results in the field of assessing the distribution of stresses arising in processed material under the influence of a working body. The purpose of our study is to analyze the results of calculations and establish the ratio of the maximum value of the shear stress and the average pressure over the contact patch of the working body with the material being processed. The theoretical basis of the work is formed by the equations for the distribution of normal and tangential stresses arising in an elastic half-space when a rigid cone is pressed into it. As a result of the analysis of the results of theoretical calculations, it was shown that the character of the normal stress distribution over the depth of the deformed massif of material is approximated with high accuracy by a quadratic function (based on the obtained approximate function, the average pressure over the contact patch of the indenter with the massif and the normal stress over the depth of the massif were compared). In this case, as shown by the results of calculations, the function of the shear stress distribution in the deformed massif has the extremum. Comparison of the obtained data on the value of the extremum of the shear stress function with the value of the approximate normal stress function at the interface of the indenter contact with the deformable mass is performed. As a result, it is shown that the maximum shear stress in absolute value is 11-12% of the average contact pressure. The calculations were carried out with varying Poisson's ratio of the massif material; the established ratio remains practically unchanged.