Approximation with activation functions and applications

International audience Function approximation arises in many branches of applied mathematics and computer science, in particular in numerical analysis, in finite element theory and more recently in data sciences domain. From most common approximation we cite, polynomial, Chebychev and Fourier series approximations. In this work we establish some approximations of a continuous function by a series of activation functions. First, we deal with one and two dimensional cases. Then, we generalize the approximation to the multi dimensional case. Examples of applications of these approximations are: interpolation, numerical integration, finite element and neural network. Finally, we will present some numerical results of the examples above. La théorie d’approximation des fonctions couvre de nombreuses branches en mathématiques appliquées, en informatique et en sciences de l’ingénieur, en particulier en analyse numérique, en théorie des éléments finis et plus récemment en sciences des données. Parmi les approximations fortement utilisées nous citons les approximations polynomiale de type Lagrange, Hermite ou au sens de Chebychev. Nous trouvons aussi l’approximation d’une fonction par une séries de Fourier, l’approximation rationnelle...Dans ce travail, nous établissons quelques résultats d’approximations d’une fonction continue par une série de fonctions de type activation. Nous traitons d’abord les cas d’une fonction à une seule puis à deux variables, puis nous généralisons l’approximation au cas multidimensionnel. Nous appliquons ces approximations pour l’interpolation et l’intégration numérique, en éléments finis et en réseau neuronal. Nous donnons pour chaque application quelques résultats numériques.

Une culture d’équations et de codes ? le metteur-en-code, entre la recherche en mécanique numérique et l’industrie aéronautique

L’article s’interroge sur la base phénoménologique qui permet les échanges entre un laboratoire de mécanique et l’industrie aéronautique dans le domaine de la mécanique informatisée, c’est-à- dire la recherche des structures qui gouvernent les relations entre les différentes catégories d’acteurs et qui donnent un sens à leurs pratiques. Pour les appréhender, nous allons étudier le partage, la constitution et la reformulation permanente de la Méthode des Eléments Finis (MEF) comme base du travail commune aux deux mondes. La MEF est la méthode mécanique/numérique qui a permis le développement de logiciels de calcul pour l’industrie.L’article s’interroge ainsi sur les conditions de possibilité du lien entre le laboratoire et les entreprises du secteur aéronautique sur la base de la transformation de la mécanique, suite à la généralisation des méthodes numériques dans les sciences et les pratiques des ingénieurs. Nous allons aborder les différentes transformations que les ordinateurs introduisent dans la mécanique, dans le travail des ingénieurs et les pratiques de recherche, jusqu’à la consolidation de la culture d’une mécanique informatisée qui constitue les bases sur lesquelles se construit le lien entre notre laboratoire et l’industrie aéronautique qui fait naître le metteur-en-code.

Calculs probabilistes des déplacements dus à la réalisation de tunnels à l’aide d’un modèle aux éléments finis

L’estimation des déplacements dus à la réalisation de tunnels est un sujet important pour les projets des travaux souterrains en sites urbains. Ces déplacements, plus particulièrement les tassements et gonflements, sont souvent l’origine d’endommagements pour les constructions avoisinantes et les ouvrages en cours de construction. Cet article présente le cadre d’une approche probabiliste à l’aide d’un modèle aux éléments finis permettant d’estimer ces déplacements. Cette approche permet de prendre en compte les incertitudes liées aux problèmes géotechniques (manque de données d’entrée, variabilité spatiale des sols, etc.). Une méthode pour la vérification probabiliste des déplacements est tout d’abord définie à l’aide du calcul de la probabilité de défaillance Pf (ou de l’indice de fiabilité β) en fonction des niveaux cibles de sécurité ou performance. Elle est ensuite appliquée à un tunnel réalisé en méthode conventionnelle grâce au couplage des outils ZSOIL et UQLab. Les évaluations de fiabilité (probabilité de défaillance et indice de fiabilité) de la fonction de sécurité basées sur les résultats des calculs aux éléments finis ont été réalisées avec succès à l’aide des méthodes FORM, AK-MCS et MCS. Cette approche probabiliste illustre l’évaluation de la fiabilité aux cas ELS selon les Eurocodes.

Déplacements induits par les tunneliers : rétro-analyse de chantiers en milieu urbain sur la base de calculs éléments finis en section courante

L’estimation des déplacements induits par le creusement au tunnelier sur des constructions avoisinantes (immeubles, ouvrages d’art, tunnels, réseaux…) est une étape essentielle des projets d’ouvrages souterrains en zones urbaines. De cette estimation sont, en effet, déduits ou adaptés des choix forts de conception tels que le tracé du tunnel, le dimensionnement du tunnelier (surcoupe, conicité…) et le choix de ses paramètres de pilotage (pression frontale, pression de bourrage…). Cet article présente des comparaisons entre les résultats de calculs éléments finis 2D et six sections instrumentées d’ouvrages réels. L’ensemble des paramètres nécessaires à la modélisation (modèle géotechnique et paramètres de creusement du tunnelier) est décrit de manière explicite. Ces rétro-analyses permettent de mieux cerner les paramètres clés du problème, en particulier le rôle majeur des pertes de volume induites le long de la jupe du tunnelier.