Approximation with activation functions and applications

International audience Function approximation arises in many branches of applied mathematics and computer science, in particular in numerical analysis, in finite element theory and more recently in data sciences domain. From most common approximation we cite, polynomial, Chebychev and Fourier series approximations. In this work we establish some approximations of a continuous function by a series of activation functions. First, we deal with one and two dimensional cases. Then, we generalize the approximation to the multi dimensional case. Examples of applications of these approximations are: interpolation, numerical integration, finite element and neural network. Finally, we will present some numerical results of the examples above. La théorie d’approximation des fonctions couvre de nombreuses branches en mathématiques appliquées, en informatique et en sciences de l’ingénieur, en particulier en analyse numérique, en théorie des éléments finis et plus récemment en sciences des données. Parmi les approximations fortement utilisées nous citons les approximations polynomiale de type Lagrange, Hermite ou au sens de Chebychev. Nous trouvons aussi l’approximation d’une fonction par une séries de Fourier, l’approximation rationnelle...Dans ce travail, nous établissons quelques résultats d’approximations d’une fonction continue par une série de fonctions de type activation. Nous traitons d’abord les cas d’une fonction à une seule puis à deux variables, puis nous généralisons l’approximation au cas multidimensionnel. Nous appliquons ces approximations pour l’interpolation et l’intégration numérique, en éléments finis et en réseau neuronal. Nous donnons pour chaque application quelques résultats numériques.

From Standardization to Abstractionalization of Language: Problems Arising in Translating Realistic Metaphysics Texts

Od standaryzacji do abstrakcjonalizacji języka: problemy językowe przy przekładach tekstów metafizyki realistycznej W ramach przekładów tekstów filozoficznych, a szczególnie tych z metafizyki realistycznej, na inne języki, pojawia się komplikacja, która w ostateczności rozstrzyga o znaczeniu słów, jak i o sensie całych zdań. Pojawia się triada, która nazwiemy problemową, a mianowicie: standaryzacja słownika, abstrakcjonalizacja terminów oraz parcelaryzacja funkcji języka. Standaryzacja języka przejawia się w tym, że w miejsce bogatych i różnorodnych synonimów pojawia się jeden termin, którym chce się oddać różnorodność procesów czy działań. Abstrakcjonalizacja języka z kolei polega na tym, że język zatrzymuje naszą uwagę poznawczą na terminach i pojęciach i nakierowuje nas na analizę tych terminów czy pojęć. Natomiast parcelaryzacja funkcji języka sprowadza się do rozbicia jedności jego potrójnej funkcji: semantycznej, syntaktycznej i pragmatycznej oraz koncentrowaniu się na jednej z nich: albo tylko semantycznej (znaczeniowej), albo tylko syntaktycznej (składniowej), albo tylko pragmatycznej (użytecznościowej). Cała ta triada jest związana bezpośrednio z przekładami oryginalnego tekstu metafizycznego na języki obce, a problemy z tego wynikające zostały omówione w powyższym artykule. Oczywiście są to ogólne tendencje językowe, z którymi spotykamy się w rożnych dziedzinach. W dziedzinie jednak przekładów języka filozofii realistycznej – czyli metafizyki, która ma za przedmiot rzeczy realne – na „widzenie” poznawcze tychże realnie istniejących rzeczy powinien naprowadzać język. De la normalisation à l’abstractionnalisation de la langue: problèmes survenant dans la traduction de textes de métaphysique réaliste Dans le processus de traduction des textes philosophiques, en particulier ceux concernant la métaphysique réaliste, en d’autres langues, apparaît une complication, qui finalement détermine le sens des mots et des phrases entières. Nous nous trouvons devant une triade concernant différents problèmes, à savoir : la standardisation du vocabulaire, l’abstractionnalisation des termes et la parcellarisation des fonctions du langage. La normalisation du langage se manifeste par le fait qu'au lieu de synonymes riches et diversifiés, apparaît un seul terme, avec lequel on veut exprimer divers processus et actions. A son tour, l’abstractionnalisation du langage consiste à fixer notre attention cognitive par le langage sur les termes et sur les concepts, et nous oriente à les analyser. Par contre, la parcellarisation des fonctions langagières revient à rompre l'unité de sa triple fonction (sémantique, syntaxique et pragmatique) et à se focaliser sur une seule d’entre elles: soit sémantique (concernant le sens), soit syntaxique (concernant la structure), soit pragmatique (concernant l’utilité). La triade entière est directement liée à la traduction du texte métaphysique original en langues étrangères, et les problèmes qui en résultent ont été discutés dans l'article ci-dessus. Bien entendu, ce sont des tendances linguistiques générales que nous rencontrons dans divers domaines. Cependant, dans le domaine des traductions du langage de la philosophie réaliste – c’est-à-dire de la métaphysique, qui a pour objet les choses réelles – le langage devrait guider la «vision» cognitive de ces choses réellement existantes.

Els camins catalans. Anàlisi arqueològica dels seus vestigis

Après quelques considérations sur les diverses classifications qui peuvent être établies à propos des chemins, classification réalisée selon leurs caractéristiques, leur utilisation et leur propriété, nous trouvons ici pour nous orienter, une biblio­graphie plus approfondie que celle que l’on aurait pu imaginer, mais, en bien des aspects non définitive encore, principalement en ce qui concerne les analyses archéologiques du thème. En partant du réseau de voies romaines, utilisées et réparées pendant le Moyen-Age, on examine plus spécialement les documents concernant les routes principales et secondaires qui continuent à être utilisées, en s'arrêtant tout particulièrement sur les ponts de bois et de pierres construits pen­dant le Moyen-Age et plus spécialement ceus du XIeme siècle (les ponts romans) et ceux du XIVeme (les pont gothiques). On prête une attention encore plus particulière aux deux seuls qui aient été minutieusement mis à jour jusqu'ici, dans la vallée du Llobregat et qui permettent de connaître les caractéristiques et les époques de leur construction et de leurs réparations successives. Dans la conclusion il est fait référence aux barques et aux ponts des bateaux destinés à traverser les rivières principales telles le Sègre et l'Ebre. Le thème des chemins médiévaux catalans a été tour d'abord traité d'un point de vue régional, prospections et recherches directement sur le terrain sont encore nécessaires pour une connaissance plus approfondie.

Ports, tràfics, vaixells, productes: italians i catalans a la Mediterrània baixmedieval

Cet article considère des aspects relatifs à la meilleure compréhen­sion de l'économie catalanne du XIVc siècle en un sens concret; de façon plus génerique son rol au marc des inter-relations avec les centres portuai­res italiens de la même èpoque, tous dans un espace plus large que serait capable de penser un monde méditerranéen d'échanges, même l'atlantique. C'est un travail conjoint, mais pas redactée à quatre mains, sinon complementaire; c'est à dire, il est conçu à travers de deux points de vue et à travers du travail de recherche de deux historiennes, même si les objectifs ont été coincidents: De cette façon, nous trouvons à la fin que une situation historique unique peut être considerée, en dependance des fonts d'archive, de manière sincronique et diacronique, en pensant à la fois en l'évolution et en le temps concret. En plus, c'est un intent de confrontation de résultats, d'interpretation et de constatation des événements.

Un estudiante ruso en la Yesiba de Toledo en tiempos de Asher ben Yehiel, ha-Rosh

Nous avons peu de renseignements sur les étudiants étrangers des yesibat espagnoles. Or nous avons jugé intéressant de reproduire ici le cas que nous trouvons dans la Responsa de Asher ben Yehiel (Klas 51, réponse à la question 2, p.49). Un étudiant russe, connu aussi sous le nom d'Asher, passa un certain laps de temps à la yesibá de Tolède qu'Asher ben Yehiel dirigeait à l'époque. Cependant, là n'est pas le motif de ce récit mais plutôt un exemple de la manière d'agir de l'époque lorsqu'un individu était disparu au qu'on le croyait mort, comme ce fut le cas de ce jeune homme qui mourut à Séville.

Iconografia a les llars mercantils del segle XV. Mentalitat, estètica i religiositat dels mercaders a Barcelona

Ven le XV siècle, les commerçants furent réunis à Barcelone en tant que fort group social et èconomic. Nous analysons ic¡ une série de documents (principalment les testataments et les écrits matrirnoniaux) dans lesquels nous pouvons vérifier la présence de certains travaux d'art médiéval. Dans ces oeuvres nous trouvons une spéciale iconographie religiieuse qui reflète la mentalité particulière et la sensibilité aesthetiqueexprimées par le remarquablenombre de membre appartenant à ce group. Ces particularités nous permettent de décrire une originale "Culture Religieuse des Commerçants” vers le XVème siècle à Barcelone. Le fruit de ce type d'art religieux des commerçants, vient confirmer, une fois de plus, le trés fort symbolisme de la culture Médiévale et la profonde relation entre l'Art, l’Histoire et la Religion du Moyen âge en Catalogne.

Chio dei Maonesi sulla fine del Trecento (dagli Atti del notaio Donato di Chiavari)

Les actes du notaire Donato di Chiavari, établis entre le 17 février et le 12 novembre 1394, constituent les principales sources que nous ayons sur l'histoire interne de l’île à la fin du XIVeme siècle. Ils nous offrent un aperçu intéressant de la vie économique de Chio qui établit des échanges commerciaux avec Gênes, l'Espagne, l'Italie méridionale, Alexandrie d'Egypte, l’île de Chypre, Tripoli en Syrie, Téologue, la Crête, Rhodes, les îles de la mer Egée et les établissements génois de Pera. Il s'agit de l'importation et l'exportation d'une importante variété de produits parmi lesquels se détache, naturellement en ce qui concerne l'exportation, la résine, l'une des principales ressources de l'ile. Selon notre source, il semble qu’à Chio ce soient surtout les émigrants génois et ligures qui oeuvrent (ce qui est logique, puisqu'il s'agit d'actes rédigés par un notaire ligure); mais nous trouvons aussi d'autres occidentaux, de même qu'on y trouve d'autres personnes en provenance de lieux sous contrôle génois en Orient, tel Famagosta, Pera er Caffa. Il est assez remarquable de voir aussi la présence d'Hébreux, intégrés, avec de bonnes perspectives, dans la société locale; tandis que la présence des Grecs semble plus réduite (mais peut-être ese-cepar pur hasard). En outre, on puise dans les actes du notaire Donato di Chiavari de précieux renseignements sur la structure de l’administration de Chio, qui avait à sa tête le podestà, à côté duquel travaillaient de nombreux fonctionnaires: le vicaire du podestà, les gubernatores, les trésoriers, les extimatores, etc. Les allusions à des Officia spécifiques, qui agissaient dans l’île, n 'y manquent pas. On en trouve un exemple dans l'Officium provisionis grani civitatis Syi, dont les officiales sont et latins (plus spécifiquement génois) et grecs.

Réflexion et Réflexivité

In lieu of an abstract, here is a brief excerpt of the content: "Étymologiquement, pour autant que je sache, la notion première de réflexion est la notion physique ; une vitre, par exemple, réfléchit les rayons du soleil. La physique étudie cela, comme elle étudie la trajectoire mécanique d’une boule de billard qui sert ici de modèle. Quel rapport entre cette réflexion (la réflexion optique) et celle qui nous importe à nous, philosophes ? Je pense que le lien est fourni par un type particulier de réflexion optique, à savoir la réflexion spéculaire. Les miroirs réfléchissent la lumière, et quand ils le font, le miroir renvoie à l’observateur l’image symétrique inversée de ce qui se trouve devant le miroir (typiquement l’observateur lui-même). Je regarde dans le miroir, et je me vois ! Dans le phénomène spéculaire, nous trouvons ce qui est au cœur de la ou des notion(s) non plus physique(s) mais mentale(s) de réflexion : la notion philosophique, et aussi la notion ordinaire (comme lorsqu’on dit de quelqu’un qu’il réfléchit, ou lorsqu’on propose des réflexions sur un sujet donné). Ce qui caractérise la réflexion mentale, sous toutes ses formes, est quelque chose que l’on retrouve aussi dans la réflexion spéculaire et qui fait que celle-ci sert souvent de modèle pour la réflexion mentale : c’est la réflexivité."

Convergence des consommations entre classes socioéconomiques et contraintes non monétaires au Canada

À partir d’un regroupement en classes socioéconomiques homogènes quant au niveau de vie, l’étude montre qu’entre 1969 et 2008 les structures de consommation des ménages canadiens sont très différenciées selon les classes et que la hiérarchie de ces structures reproduit celle des statuts sociaux. Cependant, les comportements moyens des classes convergent depuis le début des années 1970, mais à l’intérieur de chaque classe les comportements sont de plus en plus hétérogènes. Au fil du temps les classes socioéconomiques sont donc devenues moins pertinentes pour expliquer les différences de comportement de consommation. Pour analyser cette différenciation, nous construisons un pseudo-panel long à partir de sept enquêtes canadiennes de budgets de ménages afin d’estimer des fonctions de demande sur une longue période. La différence entre les estimations en dimensions transversale et temporelle permet de révéler les contraintes non monétaires qui influent sur les comportements de consommation des ménages, et leur évolution. Nous trouvons des évolutions différenciées de ces contraintes selon les postes de consommation, qui semblent cohérentes avec une explication en termes de coût temporel de la consommation.

De l’Attachement du Philosophe à son Ecole

In lieu of an abstract, here is a brief excerpt of the content: "Francis Wolff a consacré une partie de ses recherches en philosophie ancienne à la question du disciple. On peut même dire qu’il a fait de cette question, purement historique jusqu’à lui, une question philosophique. Éclairant sa position par contraste avec celle du disciple socratique et celle du disciple épicurien, Francis Wolff a défini l’entreprise du disciple aristotélicien par trois traits principaux : systématisation, retour à lettre, commentarisme indéfini. Il n’est en effet, pour reprendre les termes de Francis Wolff, « ni le disciple créateur de doctrines comme le socratique, ni le disciple répétiteur de celle du maître comme l’épicurien, mais le disciple interprète ». Ce serait pour cette raison qu’« à l’exception de Théophraste, son successeur et son seul vrai disciple, le Lycée ne donnera plus naissance à aucun philosophe marquant ». Avec ce constat abrupt et la notion de disciple qui s’en dégage et où il s’intègre, il me semble pourtant que nous nous trouvons au milieu du gué."