scholarly journals Enforcing Strong Stability of Explicit Runge-Kutta Methods with Superviscosity

2021 ◽  
Author(s):  
Zheng Sun ◽  
Chi-Wang Shu
Keyword(s):  
Strong Stability ◽  
Runge Kutta

scholarly journals Krylov SSP Integrating Factor Runge–Kutta WENO Methods

Mathematics ◽  
2021 ◽  
Vol 9 (13) ◽  
pp. 1483
Author(s):  
Shanqin Chen
Keyword(s):  
Large Time ◽  
Hyperbolic Equations ◽  
Strong Stability ◽  
Matrix Exponential ◽  
Linear Component ◽  
Nonlinear Hyperbolic Equations ◽  
Time Step ◽  
Integrating Factor ◽  
The Matrix ◽  
Runge Kutta

Weighted essentially non-oscillatory (WENO) methods are especially efficient for numerically solving nonlinear hyperbolic equations. In order to achieve strong stability and large time-steps, strong stability preserving (SSP) integrating factor (IF) methods were designed in the literature, but the methods there were only for one-dimensional (1D) problems that have a stiff linear component and a non-stiff nonlinear component. In this paper, we extend WENO methods with large time-stepping SSP integrating factor Runge–Kutta time discretization to solve general nonlinear two-dimensional (2D) problems by a splitting method. How to evaluate the matrix exponential operator efficiently is a tremendous challenge when we apply IF temporal discretization for PDEs on high spatial dimensions. In this work, the matrix exponential computation is approximated through the Krylov subspace projection method. Numerical examples are shown to demonstrate the accuracy and large time-step size of the present method.

scholarly journals Ασυνεχείς - υβριδικές μέθοδοι collocation για προβλήματα πολλαπλών πεδίων

2019 ◽  
Author(s):  
Ιωάννης Αθανασάκης
Keyword(s):  
Strong Stability ◽  
Strong Stability Preserving ◽  
Runge Kutta

Στην παρούσα διατριβή, μελετάται η ανάπτυξη αριθμητικών μεθόδων υψηλής τάξης για την επίλυση γενικότερων μη γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων για προβλήματα σε Πολλαπλά Πεδία στις 1+1 και στις 2+1 διαστάσεις. Αρχικά, αναπτύσσεται μία οικογένεια γενικευμένων μη γραμμικών Προβλημάτων Αρχικών και Συνοριακών Συνθηκών Πολλαπλών Πεδίων (ΠΑΣΣ-ΠΠ) για προβλήματα στις 1+1 και στις 2+1 διαστάσεις. Το μοντέλο διάχυσης καρκινικού όγκου στον εγκέφαλο αποτελεί μια ειδική περίπτωση εξίσωσης πολλαπλών πεδίων, η οποία ανήκει στην παραπάνω οικογένεια ΠΑΣΣ-ΠΠ. Στην παρούσα διατριβή, ερευνώνται δύο μοντέλα διάχυσης γλοιώματος στον εγκέφαλο, τα οποία προσεγγίζουν την εξέλιξη και τη διήθηση των καρκινικών κυττάρων στη Φαιά και τη Λευκή ουσία του εγκεφάλου, σε συνδυασμό με την εφαρμογή σύγχρονων θεραπευτικών σχημάτων ακτινοθεραπείας-χημειοθεραπείας. Παράλληλα με την ιατρική εφαρμογή των ΠΑΣΣ-ΠΠ, αναπτύσσονται τα γενικευμένα μη γραμμικά μοντέλα βιολογικής εισβολής Fisher και Kolmogorov-Piskunov-Petrovskii σε ομοιογενές περιβάλλον, καθώς και μια γενικευμένη Burgers-Huxley για προβλήματα με ανομοιογενές περιβάλλον. Για την αριθμητική επίλυση των παραπάνω ΠΑΣΣ-ΠΠ, αναπτύσσεται η μέθοδος derivative Discontinuous Hermite Collocation (dDHC) καθώς και δύο Υβριδικές μέθοδοι Collocation με συνεχή κυβικά πολυώνυμα Hermite. Για την ανάπτυξη της dDHC εισάγονται τα νέα πολυώνυμα Hermite με τμηματικά συνεχή πρώτη παράγωγο, τα οποία παράγουν προσεγγίσεις τέταρτης τάξης σε κάθε υπο-χωρίο καθώς και στα σημεία διεπαφής. Για την ανάπτυξη της πρώτης Υβριδικής μεθόδου Collocation, χρησιμοποιήθηκε ένας κυβικός συνεχής συντελεστής διάχυσης ώστε να προσεγγισθεί η ασυνέχεια του συντελεστή διάχυσης μεταξύ των διαφορετικών περιοχών, ενώ στη δεύτερη Υβριδική μέθοδο, συνδυάστηκε η Hermite Collocation με το σχήμα χαλάρωσης διεπαφών Two Step Ave Relaxation. Και οι δύο Υβριδικές μέθοδοι Collocation προσεγγίζουν με υψηλή ακρίβεια τη λύση της dDHC ενώ η Υβριδική μέθοδος με τον κυβικό συντελεστή επεκτάθηκε και σε προβλήματα 2+1 διαστάσεων με πολυπλοκότερη γεωμετρία. Για τη χρονική διακριτοποίηση μελετήθηκε ο συνδυασμός των παραπάνω μεθόδων Collocation με χρονικά σχήματα Diagonally Implicit, Strong Stability Preserving και Implicit Explicit Runge-Kutta υψηλής τάξης. Η ευστάθεια και η συμπεριφορά των μεθόδων επαληθεύτηκαν έπειτα από αρκετά αριθμητικά πειράματα.

Studying and Analysis of a Novel RK-Sinc Scheme

2021 ◽  
Vol 36 (2) ◽  
pp. 213-217
Author(s):  
Min Zhu
Keyword(s):  
Electromagnetic Field ◽  
Time Derivative ◽  
Strong Stability ◽  
Numerical Dispersion ◽  
Sinc Function ◽  
Order Method ◽  
Strong Stability Preserving ◽  
High Order Method ◽  
Computational Memory ◽  
Runge Kutta

In this paper, a novel high-order method, Runge-Kutta Sinc (RK-Sinc), is proposed. The RK-Sinc scheme employs the strong stability preserving Runge-Kutta (SSP-RK) algorithm to substitute time derivative and the Sinc function to replace spatial derivates. The computational efficiency, numerical dispersion and convergence of the RK-Sinc algorithm are addressed. The proposed method presents the better numerical dispersion and the faster convergence rate both in time and space domain. It is found that the computational memory of the RK-Sinc is more than two times of the FDTD for the same stencil size. Compared with the conventional FDTD, the new scheme provides more accuracy and great potential in computational electromagnetic field.

scholarly journals Dense Output for Strong Stability Preserving Runge–Kutta Methods

2016 ◽  
Vol 71 (3) ◽  
pp. 944-958 ◽  
Author(s):  
David I. Ketcheson ◽  
Lajos Lóczi ◽  
Aliya Jangabylova ◽  
Adil Kusmanov
Keyword(s):  
Strong Stability ◽  
Strong Stability Preserving ◽  
Dense Output ◽  
Runge Kutta

scholarly journals Strong Stability Preserving Integrating Factor Two-Step Runge–Kutta Methods

2019 ◽  
Vol 81 (3) ◽  
pp. 1446-1471 ◽  
Author(s):  
Leah Isherwood ◽  
Zachary J. Grant ◽  
Sigal Gottlieb
Keyword(s):  
Strong Stability ◽  
Strong Stability Preserving ◽  
Integrating Factor ◽  
Runge Kutta

scholarly journals Implicit and Implicit–Explicit Strong Stability Preserving Runge–Kutta Methods with High Linear Order

2017 ◽  
Vol 73 (2-3) ◽  
pp. 667-690 ◽  
Author(s):  
Sidafa Conde ◽  
Sigal Gottlieb ◽  
Zachary J. Grant ◽  
John N. Shadid
Keyword(s):  
Linear Order ◽  
Strong Stability ◽  
Strong Stability Preserving ◽  
Runge Kutta

Strong Stability for Additive Runge–Kutta Methods

2006 ◽  
Vol 44 (4) ◽  
pp. 1735-1758 ◽  
Author(s):  
Inmaculada Higueras
Keyword(s):  
Strong Stability ◽  
Runge Kutta
Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document