Stability results for weak solutions to backward one-dimensional semi-linear parabolic equations with locally Lipschitz source

Stability estimates of Hölder type for weak solutions to backward one-dimensional semi-linear parabolic equations with locally Lipschitz source are obtained. It is noticed that stability results for weak solutions to nonlinear inverse problems are very rare in the literature.

Recovering Differential Operators on the Half-Line with Indefinite Discontinuous Weights

Non-self-adjoint second-order differential operators on the half-line with indefinite discontinuous weights are studied. Properties of spectral characteristics are established and inverse problems of recovering operators from their spectral characteristics are investigated. For these class of nonlinear inverse problems algorithms for constructing the global solutions are developed, and uniqueness theorems are proved

On the method of calculating the modulus of continuity of the inverse operator and its modifications with application to non-linear problems of geoelectrics

Рассматриваются априорные оценки неоднозначности (погрешности) приближенных решений условно-корректных нелинейных обратных задач, основанные на модуле непрерывности обратного оператора и его модификациях. Установлена связь модуля непрерывности обратного оператора с разрешающей способностью геофизического метода. Показано, что в классе кусочно-постоянных решений, определенных на заданной сетке параметризации, модуль непрерывности обратного оператора и его модификации монотонно возрастают с увеличением размерности сетки. Предложен метод построения оптимальной сетки параметризации, которая имеет максимальную размерность при условии, что модуль непрерывности обратного оператора не превышает заданной величины. Представлен численный алгоритм расчета модуля непрерывности обратного оператора и его модификаций с использованием алгоритмов Монте-Карло, исследуются вопросы сходимости алгоритма. Предлагаемый метод применим также для расчета классических апостериорных оценок погрешности. Приводятся численные примеры для нелинейных обратных задач геоэлектрики. The article considers a priori estimates of the ambiguity (error) of approximate solutions of conditionally correct nonlinear inverse problems based on the modulus of continuity of the inverse operator and its modifications. It is shown that in the class of piecewise constant solutions defined on a given parametrization grid, the modulus of continuity of the inverse operator and its modifications monotonously increase with increasing mesh dimension. A method is proposed for constructing an optimal parameterization grid that has a maximum dimension provided that the modulus of continuity of the inverse operator does not exceed a given value. A numerical algorithm for calculating the modulus of continuity of the inverse operator and its modifications using Monte Carlo algorithms is presented; questions of convergence of the algorithm are investigated. The proposed method is also applicable for calculating classical posterior error estimates. Numerical examples are given for nonlinear inverse problems of geoelectrics.