On the derivative formulas of the rotation minimizing frame in Lorentz–Minkowski 3-space

The main intention of this paper is to analyze integrability for the derivative formulas of the rotation minimizing frame in the Lorentz–Minkowski 3-space. As far as we know, no one has yet given a method to study their integrability in the Lorentz–Minkowski 3-space. So, we introduce the coordinate system in order to provide a tool for studying the integrability. As an application, the position vectors of some special curves having an important place in mathematical and physical research are obtained in the natural representation form. Finally, we support our work with examples.

Legendre curves and the singularities of ruled surfaces obtained by using rotation minimizing frame

UDC 514.7 In this paper, Legendre curves in unit tangent bundle are given using rotation minimizing vector fields. Ruled surfaces corresponding to these curves are represented. Singularities of these ruled surfaces are also analyzed and classified.

Quaternion polynomials and rational rotation minimizing frame curves

Η μελέτη των συστημάτων συντεταγμένων ή πλαισίων (frames) τα οποίαορίζονται πάνω σε μία χωροκαμπύλη αποτελεί ένα πολύ ενδιαφέρον επιστημονι-κό πεδίο έρευνας. Πιο συγκεκριμένα, ενδιαφερόμαστε για εκείνα τα πλαίσια ταοποία είναι ορθοκανονικά και στα οποία το ένα από τρία διανύσματα συμπίπτειμε το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης, σε κάθε σημείο της. Τέτοια πλαίσιατα ονομάζουμε προσαρμοσμένα πλαίσια και μεταξύ αυτών ενδιαφερόμαστε ιδιαι-τέρως για τα πλαίσια ελάχιστης περιστροφής (RMF) τα οποία έχουν εξαιρετικάσημαντικές εφαρμογές, αφού εκτελούν την ελάχιστη περιστροφή κατα μήκοςτης καμπύλης. Ρητές αναπαραστάσεις των RMF ειναι επιθυμητές στις εφαρ-μογές, και έτσι οι τελευταίες έρευνες έχουν επικεντρωθεί στην μελέτη τέτοιωνπλαισίων- που καλούνται RRMF - και κυρίως στον προσδιορισμό, χαρακτηρι-σμό και κατασκευή καμπυλών στα οποία μπορούν να οριστούν RRMF πλαίσια.Αυτές οι καμπύλες πρέπει απαραιτήτως να είναι καμπύλες με ρητό εφαπτομενικόμοναδιαίο διάνυσμα, οι οποίες είναι γνωστές ως καμπύλες με πυθαγόρεια οδο-γραφήματα (PH καμπύλες). Χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα με συντελεστέςτετραδικούς αριθμούς (quaternions) ή εναλλακτικά την απεικόνιση Hopf μπο-ρούμε να αναπαραστήσουμε τις PH καμπύλες. ΄Ομως, ακόμα και στις PH καμ-πύλες ένα RMF, δεν είναι πάντοτε ρητό. Το Euler–Rodrigues πλαίσιο (ERF)που ορίζεται σε κάθε PH καμπύλη και είναι εκ κατασκευής ρητό, αποτελεί μίακαλή αναφορά για τον προσδιορισμό RRMF στις PH καμπύλες. Το ERF δενείναι εν γένει RMF. Οι μικρότερου βαθμού μη επίπεδες καμπύλες για τις οποίεςτο ERF μπορεί να είναι RMF είναι οι καμπύλες 7ου βαθμού.Στην παρούσα διατριβή δίνουμε ένα χαρακτηρισμό των PH καμπυλών 7ουβαθμού στις οποίες το ERF είναι ένα RMF, χρησιμοποιώντας και τις δύο ι-σοδύναμες μορφές αναπαράστασης των. Επιπλέον, ασχολούμαστε με τις PHκαμπύλες 5ου βαθμού και ερευνούμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία τέ-τοια καμπύλη είναι RRMF συγκεκριμένης κατηγορίας. Επίσης, μελετάμε ταπολυώνυμα με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς, αφού μέσω αυτών των πο-λυωνύμων εκφράζουμε το οδογράφημα των PH καμπυλών και παρουσιάζουμεσχετικά αποτελέσματα που μας βοηθούν στην μελέτη των RRMF καμπυλών.Ακόμα παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο που υπολογίζει τις ρίζες των πολυωνύ-μων 2ου βαθμού με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς και ο οποίος χρησιμο-ποιείται στην μελέτη των RRMF καμπυλών 5ου βαθμού. Τέλος, αποδεικνύουμεότι οι PH καμπύλες με μη πρωτογενή οδογραφήματα είναι αυτές στις οποίες τοαντίστοιχο πολυώνυμο με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς μέσω του οποί-ου εκφράζεται, έχει μιγαδική ρίζα και παρατηρούμε ότι αυτές οι καμπύλες είναιομαλές καμπύλες. Επιπλέον, δίνουμε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για ένατέτοιο πολυώνυμο να έχει μία τουλάχιστον μιγαδική ρίζα. Επιπλέον, δια μέσουαυτής της μελέτης προσδιορίζουμε και χαρακτηρίζουμε κάποιες συγκεκριμένεςκατηγορίες καμπυλών που “παράγονται” από άλλες μικρότερου βαθμού.