A Nash-game approach to joint data completion and location of small inclusions in Stokes flow

International audience We consider the coupled inverse problem of data completion and the determination of the best locations of an unknown number of small objects immersed in a stationary viscous fluid. We carefully introduce a novel method to solve this problem based on a game theory approach. A new algorithm is provided to recovering the missing data and the number of these objects and their approximate location simultaneously. The detection problem is formulated as a topological one. We present two test-cases that illustrate the efficiency of our original strategy to deal with the ill-posed problem. Nous étudions le problème de détection des petites inclusions immergées dans un fluide visqueux et incompressible, lorsque le mouvement de celui-ci est régi par les équations de Stokes. Des données du type Cauchy seront ainsi fournies seulement sur une partie frontière de l’écoulement.A cet égard, nous essayons de développer une méthode originale basée sur une approche de théorie des jeux, pour résoudre notre problème inverse. Un nouvel algorithme a été donc présenté traitant simultanément la question de la reconstruction des données manquantes avec celle de détection d’objets. La notion de gradient topologique a été utilisée afin de déterminer le nombre d’objets présents et leurs localisations approximatives. Dans cet objectif, une étude numérique présentée, a été effectuée pour prouver l’efficacité de la méthode.

Inverse Problem: Stability for the aligned magnetic field by the Dirichlet-to-Neumann map for the wave equation in a periodic quantum waveguide

International audience Dans ce papier, on a prouvé une estimation de stabilité pour le problème inverse de dé-termination du champ magnétique dans l'équation des ondes donné sur un domaine non borné à partir de l'opérateur de Dirichlet-to-Neumann. On a montré un résultat de stabilité pour ce problème inverse, dont la démonstration est basée sur la construction de solutions optique géométrique pour l'équation des ondes avec un potentiel magnétique 1-périodique. ABSTRACT. We consider the boundary inverse problem of determining the aligned magnetic field appearing in the magnetic wave equation in a periodic quantum cylindrical waveguide from boundary observations. The observation is given by the Dirichlet to Neumann map associated to the wave equation. We prove by means of the geometrical optics solutions of the magnetic wave equation that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map determines uniquely the aligned magnetic field induced by a time independent and 1-periodic magnetic potential. We establish a Hölder-type stability estimate in the inverse problem.

Reconstruction of missing boundary conditions from partially overspecified data : the Stokes system

We are interested in this paper with the ill-posed Cauchy-Stokes problem. We consider a data completion problem in which we aim recovering lacking data on some part of a domain boundary , from the knowledge of partially overspecified data on the other part. The inverse problem is formulated as an optimization one using an energy-like misfit functional. We give the first order opti-mality condition in terms of an interfacial operator. Displayed numerical results highlight its accuracy. Nous nous intéressons à un problème de Cauchy mal posé, celui de la complétion de données frontières pour les équations de Stokes. Nous voulons reconstituer les données manquantes sur une partie non accessible de la frontière du domaine à partir de données peu surdéterminées sur la partie accessible. Nous formulons ce problème inverse sous forme de minimisation d'une fonctionnelle de type énergie. Les conditions d'optimalité du premier ordre sont écrites en termes d'équation d'interface utilisant les opérateurs de Stecklov-Poincaré. Nous donnons des résultats numériques attestant l'efficacité de la méthode.

Inverse heat source problem for a coupled hyperbolic-parabolic system

International audience Dans ce papier, on a prouvé une estimation de stabilité de type Höldérienne pour un problème inverse de détermination du terme source de l'équation de la chaleur à l'aide d'une inégalité de Carleman pour un système d'équations hyperbolique-parabolique couplé. ABSTRACT. In this paper we consider a coupled system of mixed hyperbolic-parabolic type which describes the Biot consolidation model in poro-elasticity. Using a local Carleman estimate for a coupled hyperbolic-parabolic system, we prove the uniqueness and a Hölder stability in determining the heat source by a single measurement of solution over ω × (0, T), where T > 0 is a sufficiently large time and a suitable subbdomain ω ⊂ Ω such that ∂ω ⊃ ∂Ω. MOTS-CLÉS : Problème inverse, estimation de Carleman, système couplet