Image of Soviet and Russian logic in the West. Latter Half of the XXth Century

The article attempts to overview Western scientific knowledge of research in mathematical logic and its history in the USSR and Russia in the first half of the 20th century. We claim that Western scholars followed and were generally aware of the main works of their Soviet and Russian colleagues on mathematical logic and its history. It was possible, firstly, due to the fact that a number of Western scientists knew the Russian language, and, secondly, because Soviet and Russian logicians published their works in English (sometimes in German) in the original journals of mathematical logic or Soviet publishing houses (mainly Mir Publishers) translated Soviet authors into English. Thus, the names of A.G. Dragalin, Yu.L. Ershov, A.S. Karpenko, A.N. Kolmogorov, Z.A. Kuzicheva, Yu.I. Manin, S.Yu. Maslov, F.A. Medvedev, G.E. Mints, V.N. Salii, V.A. Smirnov, A.A. Stolyar, N.I. Styazhkin, V.A. Uspensky, I.M. Yaglom, S.A. Yanovskaya, A.P. Yushkevich, A.A. Zinov’ev were quite known to their Western counterparts. With the dawn of perestroika, contacts of Soviet / Russian logicians expanded significantly. Nevertheless, the analysis of Western works on mathematical logic and the history of logic suggests that by the end of the 20th century the interest of Western scientists in the works of their Russian colleagues had noticeably waned.

О выразительных возможностях максимально паранепротиворечивых и параполных четырехзначных расширений FDE

Статья посвящена замкнутым классам функций четырехзначной логики, которые могут быть порождены системами элементарных операций характеристических матриц для таких языковых расширений логики $\mathbf{FDE}$, которые являются одновременно максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. Мы начинаем с представления необходимых и достаточных условий, которым должны отвечать четырехзначные языковые расширения $\mathbf{FDE}$, чтобы быть максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. В обоих случаях критерии максимальности связаны с наличием в матрице рассматриваемого расширения операторов определенного рода, из-за которых это расширение не является подлогикой трехзначного языкового расширения логики Асеньо--Приста $\mathbf{LP}$ --- в случае паранепротиворечивости, и логики Клини $\mathbf{K_{3}}$ --- в случае параполноты. Далее, опираясь на теорему Бэйкера--Пиксли, мы даем описание такого множества из 5 одноместных и 20 двухместных предикатов, что любой замкнутый класс функций, порожденный системой элементарных операций четырехзначной характеристической матрицы языкового расширения $\mathbf{FDE}$, есть класс функций, сохраняющих одно из подмножеств данного множества. Это дает простой алгоритм сравнения выразительных возможностей любых произвольно взятых четырехзначных языковых расширений $\mathbf{FDE}$. Кроме того, принимая во внимание, что в приведенное множество предикатов включаются все предикаты, описывающие предполные классы функций четырехзначной логики, которые сохраняются операциями характеристической матрицы $\mathbf{FDE}$, мы приводим критерии функциональной полноты и предполноты для множества всех операций любой четырехзначной матрицы, характеризующей языковое расширение $\mathbf{FDE}$. Наконец, используя критерии максимальной паранепротиворечивости и параполноты, а также список предикатов для расширений $\mathbf{FDE}$, представленные в статье, мы идентифицируем все 14 множеств предикатов, описывающих замкнутые классы, которые соответствуют четырехзначным характеристическим матрицам тех расширений $\mathbf{FDE}$, которые являются одновременно максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. Это позволяет нам не только перечислить все замкнутые классы, соответствующие максимально паранепротиворечивым и параполным четырехзначным языковым расширениям $\mathbf{FDE}$, но и упорядочить их по включению.

Undecidability of QLTL with two variables and one monadic predicate letter

We study the algorithmic properties of the quantified linear-time temporal logic QLTL in languages with restrictions on the number of individual variables as well as the number and arity of predicate letters. We prove that the satisfiability problem for QLTL in languages with two individual variables and one monadic predicate letter in Σ 11 -hard. Thus, QLTL is Π 11 -hard, and so not recursively enumerable, in such languages. The resultholds both for the increasing domain and the constant domain semantics and is obtained by reduction from a Σ 11 -hard N×N recurrent tiling problem. It follows from the proof for QLTL that similar results hold for the quantified branching-time temporal logic QCTL, and hence for the quantified alternating-time temporal logic QATL. The result presented in this paper strengthens a result by I. Hodkinson, F. Wolter, and M. Zakharyaschev, who have shown that the satisfiability problem for QLTL is Σ 11 -hard in languages with two individual variablesand an unlimited supply of monadic predicate letters.

Интенсиональные семантики для некоторых систем позитивной силлогистики

Статья посвящена рассмотрению интенсиональных семантик для некоторых систем позитивной силлогистики: фундаментальной силлогистики и ее подсистем, силлогистики ${\bf С2}$ и силлогистики Больцано. Интенсиональные семантики, представленные в статье, строятся на основе синтаксического подхода, предложенного В.И. Шалаком и далее развитого В.И. Маркиным, при котором общим терминам приписываются формулы пропозиционального языка, а значимость силлогистических констант определяется через отношение классического, а потом и релевантного следования. Первый раздел статьи содержит описание уже имеющихся интенсиональных семантик с релевантным следованием для фундаментальной силлогистики и ее подсистемы ${\bf ИФС}$, а также предлагаются две новые системы (промежуточные между ${\bf ФС}$ и ${\bf ИФС}$), для одной из которых доказана адекватность семантики исчислению. Второй и третий разделы посвящены двум другим известным силлогистическим системам: силлогистике ${\bf С2}$ и силлогистике Больцано. Для обеих систем представлена интенсиональная семантика с классическим и релевантным следованием, доказаны адекватность данных семантик соответствующим исчислениям. Предложенные семантики расширяют выразительные возможности силлогистики, а также представляются интересными в свете развивающегося интенсионального подхода к трактовке силлогистических семантик. Также в статье обозначены еще нерешенные проблемы в данной области: предложены возможные семантики для некоторых систем, поиск аксиоматизаций для которых представляет дальнейший интерес.

Системы временной логики I: моменты, истории, деревья

В статье дается обзор основных идей, лежащих в основаниях семантических конструкций, используемых в различных системах $\textit{логики времени}$, как одного из направлений современной философской логики. Для систем логик линейного и ветвящегося времени описаны ключевые особенности их формализованных языков, модельных структур, служащих для их интепретации, даны ссылки на основные технические результаты, связанные с формализациями этих систем.

Логика суждений существования и силлогистика

В статье строится формальная система, предназначенная для логического анализа суждений существования. В ее языке содержится неопределенно-местная константа существования, а простые формулы образуются сочленением этой константы с произвольной конечной последовательностью общих терминов – положительных (простых) и отрицательных. Сложные формулы образуются с помощью пропозициональных связок. Для данного языка формулируется естественная семантика. Значением (объемом) простого общего термина в некоторой модели является подмножество предметной области данной модели, а объемом отрицательного термина – дополнение к объему соответствующего положительного термина. Простая формула значима в модели, если и только если пересечение объемов общих терминов, из которых она образована, непусто. Предлагается исчисление, аксиоматизирующее класс общезначимых формул. Данное исчисление строится на основе классического исчисления высказываний. В статье обращается внимание на то обстоятельство, что атрибутивные суждения могут быть определены с использованием суждений существования. В связи с этим возникает вопрос о метатеоретических отношениях между построенной логикой и различными силлогистическими теориями. Демонстрируется рекурсивная эквивалентность логики суждений существования и силлогистики с неопределенно-местной константой, которая является обобщением силлогистической константы a. С этой целью задается перевод из логики суждений существования в указанную силлогистику и доказывается, что он погружает первую систему во вторую. Задается и обратный перевод, и доказывается, что он также является погружающей операцией. В статье также доказываются метатеоремы о семантической непротиворечивости и полноте исчисления суждений существования.

О критерии паранормальности для $n$-значных логических матриц

В результате обобщения на $n$-значный случай алгоритма конструирования литеральных паранепротиворечивых/параполных логик посредством комбинирования изоморфов классической логики получаем классы паранепротиворечивых, параполных и паранормальных логик. Паранормальные логики – логики, которые одновременно и паранепротиворечивы, и параполны. В качестве критерия паранепротиворечивости логики взят критерий неверифицируемости закона Дунса Скота в соотвествующей логической матрице. В качестве критерия параполноты логики взят критерий неверифицируемости закона Клавия в соотвествующей логической матрице. В статье рассмотрен тип $n$-значных логических матриц, определеяющих паранормальные системы. Исследован вопрос о классе тавтологий, определяемом этим типом матриц. Доказано, по классу тавтологий исследуемые матрицы совпадают с представленными в литературе четырехзначными паранормальными матрицами логик $\mathbf V$, $\mathbf{I^1P^1}$.

Логика в онтологии процессов

Целью работы является исследование языковых средств, которые могут быть использованы для проведения рассуждений о процессуальной онтологии, которая отличается от субстанциальной более сложной структурой элементарных “кирпичиков”, лежащих в ее основе. Следствием этого является необходимость использовать языки с более богатыми выразительными возможностями, чем язык классической логики. В работе рассматриваются языки с унарными и бинарными модальностями. Отдельные процессы можно анализировать с двух точек зрения – статики и динамики. В первом случае нас интересуют высказывания, истинность которых зависит лишь от внутренней структуры текущего процесса. Отношение деления процессов позволяет определить на его частях транзитивный, плотный линейный порядок без первого и последнего элементов, который можно понимать, как локальный временной порядок данного процесса. Это, в свою очередь, позволяет говорить о начале процессов, их протекании и окончании. Появляется возможность определить понятия состояния процесса и процесса, как события. Включение в язык бинарной модальности типа некоммутативной конъюнкции позволяет определить аналог причинно-подобной условной связи между частями процесса. Динамика процессов подразумевает возможность их продолжения за пределы текущего процесса. Это может происходить либо благодаря имплицитным причинным связям, когда текущий процесс содержит в себе причину своего будущего продолжения, либо в результате действий активных агентов, которые сами формируют это продолжение. Для представления динамики процессов, как следствия действий активных агентов, использован упрощенный вариант языка динамической логики. Также показано, каким образом можно учитывать цели, которые ставят перед собой активные агенты при выполнении тех или иных действий.

Negation of Conditionals in Natural Language and Thought

External negation of conditionals occurs in sentences beginning with ‘It is not true that if’ or similar phrases, and it is not rare in natural language. A conditional may also be denied by another with the same antecedent and opposite consequent. Most often, when the denied conditional is implicative, the denying one is concessive, and vice versa. Here I argue that, in natural language pragmatics, ‘If $A$, $\sim B$’ entails ‘$\sim$(if $A, B$)’, but ‘$\sim$(if $A, B$)’ does not entail ‘If $A$, $\sim B$’. ‘If $A, B$’ and ‘If $A$, $\sim B$’ deny each other, but are contraries, not contradictories. Truth conditions that are relevant in human reasoning and discourse often depend not only on semantic but also on pragmatic factors. Examples are provided showing that sentences having the forms ‘$\sim$(if $A, B$)’ and ‘If $A$, $\sim B$’ may have different pragmatic truth conditions. The principle of Conditional Excluded Middle, therefore, does not apply to natural language use of conditionals. Three squares of opposition provide a representation the aforementioned relations.

A Conflict Tolerant Logic of Explicit Evidence

Standard epistemic modal logic is unable to adequately deal with the FrauchigerRenner paradox in quantum physics. We introduce a novel justification logic CTJ, in which the paradox can be formalized without leading to an inconsistency. Still CTJ is strong enough to model traditional epistemic reasoning. Our logic tolerates two different pieces of evidence such that one piece justifies a proposition and the other piece justifies the negation of that proposition. However, our logic disallows one piece of evidence to justify both a proposition and its negation. We present syntax and semantics for CTJ and discuss its basic properties. Then we give an example of epistemic reasoning in CTJ that illustrates how the different principles of CTJ interact. We continue with the formalization of the Frauchiger–Renner thought experiment and discuss it in detail. Further, we add a trust axiom to CTJ and again discuss epistemic reasoning and the paradox in this extended setting.