EVALUASI NUMERIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN DAN FUNGSI RAGAM PROSES POISSON MAJEMUK DENGAN INTENSITAS EKSPONENSIAL FUNGSI LINEAR

<em>Performances of estimators for the mean and variance functions of a compound Poisson process having intensity obtained as an exponential of linear function are investigated using Monte Carlo simulations. The intensity function of this process is assumed to be </em>𝑒𝑥𝑝(𝛼+𝛽𝑠) <em>with </em>0&lt;𝛽&lt;<em>∞</em>, <em>where </em>𝛽 <em>is assumed to be known. In [8], estimators of the mean and variance functions of this process have been constructed and have been proved to be unbiased, weakly and strongly consistent. The objectives of this research are to check distributions of these estimators using Monte Carlo simulation and to check the convergence to </em>1−𝛼 <em>of the probabilities that the parameters are contained in the confidence intervals constructed in [11]. Results of the research are as follows. Distribution of estimators for the mean and variance functions are approximately normal. For a given significance level </em>𝛼<em>, the larger the size of observation interval, the closer the probabilities that the parameters are contained in the confidence intervals to </em>1−𝛼<em>.</em>

PENENTUAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA MENGGUNAKAN MODEL VASICEK DAN MODEL COX-INGERSOLL-ROSS (CIR)

Tingkat suku bunga berpengaruh pada penentuan besaran nilai premi. Nilai suku bunga diperoleh dengan menggunakan model suku bunga Vasicek dan CIR. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menghitung nilai suku bunga, nilai premi, dan perbandingan nilai premi dari model suku bunga Vasicek dan model suku bunga CIR. Nilai suku bunga akan digunakan dalam menghitung nilai premi asuransi jiwa berjangka 𝑛 tahun dengan pembayaran cicilan premi saat besaran konstan tapi berbeda untuk dua periode dan cicilan premi saat besaran meningkat secara linear ketika uang pertanggungan dibayarkan di akhir tahun. Hasil perhitungan premi asuransi jiwa berjangka dengan model Vasicek dan model CIR tidak ada perbedaan yang signifikan.

PREDIKSI REDAMAN GELOMBANG MENGGUNAKAN RANCANGAN DRAG TEKANAN GREEN BELT MANGROVE (GBM) PADA PERSAMAAN AIR DANGKAL (PAD)-DASAR LAUT RATA (DLR) DENGAN PENDEKATAN NUMERIK

Berbagai fenomena alam yang banyak terkait dengan gelombang, di antaranya adalah bunyi, cahaya, pergerakan air laut, aliran sungai, riak pada air kolam, dan contoh-contoh lain yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu jenis gelombang yang banyak dikaji adalah gelombang tsunami, yang mana gelombang tsunami ini memiliki periode gelombang yang sangat besar dan gelombangnya tidak mudah hilang ataupun tereduksi. Gelombang tsunami dapat menghantam pantai dengan energi yang sangat besar sehingga mengakibatkan area sekitar pantai mengalami kerusakan yang sangat luas. Salah satu upaya untuk meredam gelombang adalah dengan adanya keberadaan hutan mangrove yang berfungsi meminimalisir kerusakan pantai.<br />Dalam penelitian ini, upaya untuk memprediksi redaman gelombang dilakukan dengan merancang drag tekanan Green Belt Mangrove (GBM) pada Persamaan Air Dangkal (PAD) untuk kasus Dasar Laut Rata (DLR). Persamaan yang merepresentasikan gelombang diterapkan melalui PAD untuk kasus DLR (PAD-DLR), sedangkan redaman gelombang dibangun melalui PAD-DLR dengan menerapkan drag tekanan fluida pada GBM yang tergantung pada koefisien drag dan luas GBM, dinamakan PAD-GBM-DLR. Solusi numerik PAD-DLR dan PAD-GBM-DLR diselesaikan dengan menggunakan Metode Beda Hingga. Adapun simulasi yang dilakukan guna menggambarkan perilaku gelombang dari solusi numerik PAD-DLR dan PAD-GBM-DLR. Pada penelitian ini telah diperoleh hasil prediksi redaman gelombang terhadap GBM melalui simulasi PAD-GBM-DLR. Berdasarkan hasil analisis pada simulasi yang telah dilakukan, Redaman Amplitudo Gelombang (RAG) dan Redaman Kecepatan Gelombang (RKG) terbesar diberikan pada kondisi IV yang memiliki nilai luas GBM 𝐴 = 22 dan koefisien drag GBM 𝐶𝐷 = 0.95 yaitu 93 % dan 32 %. Oleh sebab itu, semakin banyak dan besar nilai luasan GBM (𝐴) serta semakin kecil nilai koefisen drag GBM (𝐶𝐷) yang diberikan, maka redaman gelombang semakin membesar, begitupun sebaliknya.

VEHICLE ROUTING PROBLEM TIME WINDOWS DENGAN PENGEMUDI SESEKALI

Pendistribusian barang merupakan salah satu hal penting dalam suatu kegiatan produksi. Dalam proses distribusi, semua perusahaan mengharapkan agar dapat meminimumkan biaya pendistribusian. Kendala yang sering dihadapi dalam pendistribusian barang ialah penentuan rute yang harus dilewati oleh kendaraan pengirim barang tersebut. Banyak strategi yang bisa digunakan untuk mengatasi permasalahan distribusi, salah satunya dengan menggunakan jasa pengemudi sesekali. Dalam penentuan rute, setiap perusahaan memiliki kendala yang berbeda-beda, seperti jumlah kendaraan yang digunakan, kapasitas kendaraan dan permintaan konsumen, jarak antar konsumen, dan ada juga kasus dimana konsumen ingin dilayani sesuai dengan time windows yang dimilikinya. Masalah penentuan rute yang optimal dapat diselesaikan dengan model dalam optimasi yaitu Vehicle Routing Problem (VRP). Makalah ini bertujuan memformulasikan masalah pendistribusian pada model Vehicle Routing Problem Time Windows dengan pengemudi sesekali dalam menentukan rute optimal dimana tiap konsumen memiliki batasan waktu dengan menggunakan jasa pengemudi sesekali. Hasil VRP time windows dengan pengemudi sesekali menunjukkan bahwa model ini dapat digunakan untuk meminimalkan biaya pendistribusian.

TINJAUAN TERHADAP METODE PENGOPTIMUMAN PENDEKATAN NEWTON

<p>Saat ini teknik-teknik pengoptimuman semakin berkembang. Hal ini sejalan dengan berkembangnya teknologi komputer dan juga semakin kompleksnya masalah pengoptimuman. Untuk pengembangan metode-metode baru diperlukan pengetahuan yang mumpuni tentang dasar-dasar pengoptimuman. Pada paper ini kami menyajikan teknik pengoptimuman dengan menggunakan metode Davidon-Fletcher-Powell beserta analisis yang detail tentang teorema-teorema yang mendasarinya. Kemudian dengan menggunakan bantuan suatu perangkat lunak metode ini diaplikasikan untuk menyelesaikan suatu kasus pengoptimuman nonlinear.</p>

MASALAH KONTROL OPTIMUM LINEAR PENYEBARAN VIRUS HIV MELALUI PENGGUNAAN DUA JENIS OBAT

Dalam karya ilmiah ini dipelajari model interaksi sel <em>CD</em>4+<em>T </em>sehat dengan sel HIV serta menambahkan dua jenis kontrol, yaitu obat penambah kekebalan tubuh dan obat antivirus. Masalah interaksi ini diformulasikan dalam bentuk model kontrol optimum dengan fungsional objektif memaksimumkan populasi sel <em>CD</em>4+<em>T </em>sehat serta meminimumkan dosis obat yang dikonsumsi. Penerapan prinsip maksimum Pontryagin memberikan empat persamaan diferensial sebagai syarat penyelesaian, yaitu dua persamaan diferensial untuk sistem dan dua persamaan diferensial untuk fungsi adjoin. Solusi numerik diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan diferensial menggunakan metode Runge-Kutta orde-4. Pemberian kontrol pada sistem membuat populasi sel <em>CD</em>4+<em>T </em>sehat bertambah dan membuat populasi sel HIV berkurang. Pemberian kontrol sebaiknya tidak diberikan secara bersamaan karena tidak akan memberikan kontribusi untuk salah satu kontrol.

MULTI DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM DENGAN PENGEMUDI SESEKALI

<strong>Distribusi merupakan suatu proses penyaluran barang dari satu atau kumpulan produsen kepada konsumen</strong>. Dalam proses pendistribusian semua produsen mengharapkan untuk meminimumkan biaya pendistribusian. Oleh karena itu perlu diformulasikan suatu model dalam optimasi untuk meminimumkan biaya pendistribusian. Salah satu model yang telah diformulasikan adalah <em>vehicle routing problem</em> (VRP) dengan pengemudi sesekali untuk meminimumkan biaya pendistribusian di satu tempat produksi. Selanjutnya dalam makalah ini akan diformulasikan model VRP dengan pengemudi sesekali untuk dua tempat produksi, sehingga disebut <em>multi depot vehicle routing problem</em> (MDVRP) dengan pengemudi sesekali. Tujuan dari formulasi model (MDVRP) dengan pengemudi sesekali ini adalah untuk meminimumkan biaya pendistrbusian Penggunaan kendaraan milik pengemudi sesekali dalam model MDVRP dengan pengemudi sesekali menunjukkan bahwa model ini dapat digunakan untuk meminimalkan biaya pendistribusian pada dua tempat produksi. Berdasarkan hasil tersebut, model ini dapat digunakan untuk meminimumkan biaya pendistribusian untuk dua tempat produksi dan selanjutnya dapat dijadikan acuan untuk pengerjaan lebih dari dua tempat produksi.

MODEL PENGENDALIAN INFLUENZA H1N1 DUA STRAIN DENGAN VAKSINASI DAN PENGOBATAN

Pada karya ilmiah ini, penyebaran influenza dua strain dimodelkan dengan melibatkan tiga variabel kontrol yaitu vaksinasi dan pengobatan pada masing-masing strain. Akan ditentukan variabel kontrol optimum sehingga dapat meminimumkan populasi terinfeksi berdasarkan empat skenario pengendalian. Prinsip maksimum Pontryagin diterapkan untuk menurunkan sistem persamaan diferensial sebagai kondisi yang harus dipenuhi variabel-variabel kontrol optimum. Kemudian, metode Runge-Kutta orde empat digunakan untuk menentukan solusi numerik dari masalah kontrol optimum. Pada solusi numerik ditunjukkan bahwa pemberian tiga buah kontrol pada model penyebaran influenza H1N1 dua strain memberikan pengaruh yang baik karena dapat menurunkan populasi individu terinfeksi oleh strain satu dan strain dua sampai 99% serta meningkatkan populasi individu yang telah diobati secara efektif sampai 85% pada bulan ke lima.

SIMULASI SISTEM BONUS-MALUS PADA ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR BERDASARKAN JENIS KECELAKAAN DAN TINGKAT KEPARAHAN

Penelitian ini membahas asuransi kendaraan bermotor di mana penentuan harga premi risikonya berdasarkan data riwayat kecelakaan di masa lalu (<em>experience rating</em>) dan disebut dengan sistem <em>Bonus-Malus</em>. Pada sistem <em>Bonus-Malus</em>, pemegang polis yang telah mengajukan satu atau lebih klaim akan dikenakan kenaikan premi (<em>Malus</em>), sedangkan yang tidak mengajukan klaim akan diberikan penghargaan berupa penurunan premi (<em>Bonus</em>) di periode pembayaran premi berikutnya. Simulasi sistem <em>Bonus-Malus</em> yang dibahas ada tiga sistem. Untuk semua sistem, setiap tahun yang tidak ada klaim dihargai dengan turun satu tingkat. Sistem <em>Bonus-Malus</em> pertama menghukum setiap klaim kerusakan barang naik dua tingkat dan klaim cedera tubuh naik empat tingkat sistem kedua menghukum setiap klaim (kerusakan barang atau cedera tubuh) naik dua tingkat dan sistem ketiga menghukum setiap klaim (kerusakan barang atau cedera tubuh) naik tiga tingkat Dari ketiga sistem diperoleh proporsi banyaknya nasabah dan besar premi relatif di setiap kelas premi. Kelas premi pertama (<em>state</em> 0) merupakan kelas premi paling murah dan kelas premi terakhir (<em>state</em> 8) merupakan kelas premi paling mahal. Hasil dari simulasi diperoleh proporsi nasabah di kelas premi paling murah paling banyak di sistem kedua sebesar 54.70% dengan besar premi relatif sebesar 85.76% dan paling sedikit di sistem ketiga sebesar 42.44% dengan besar premi relatif sebesar 80.81%. Proporsi nasabah di kelas premi paling mahal paling banyak di sistem ketiga sebesar 6.45% dengan besar premi relatif sebesar 132.85% dan paling sedikit di sistem kedua sebesar 2.60% dengan besar premi relatif sebesar 139.84%.

PENYELARASAN ARAH VEKTOR GRADIEN UNTUK MENENTUKAN STEP SIZE METODE STEEPEST DESCENT PADA FUNGSI NONLINEAR KUADRATIK BANYAK VARIABEL

Masalah optimisasi banyak variabel dapat diselesaikan dengan berbagai metode untuk mendapatkan solusi yang optimal. Salah satu metode yang paling sederhana yaitu metode <em>steepest descent</em>. Metode <em>steepest descent</em> menggunakan vektor gradien untuk menentukan arah pencarian disetiap iterasi kemudian ditentukan <em>step size</em> sebagai jarak perubahan solusi yang dipengaruhi oleh vektor gradien. <em>Step size </em>( ) pada metode <em>steepest descent</em> sangat mempengaruhi kecepatan kekonvergenan metode ini. Sehingga diperlukan penentuan <em>step size</em> yang tepat untuk mempercepat kekonvergenan metode <em>steepest descent</em>. Penelitian ini akan memodifikasi <em>step size</em> pada metode <em>st</em><em>eepest descent</em> dengan menentukan <em>step size</em> yang dapat menghasilkan arah (vektor gradien) yang mendekati vektor eigen dari matriks Heisse suatu fungsi kuadratik definit positif banyak variabel. Hasil numerik menunjukkan bahwa<em> step size </em>yang diperoleh pada penelitian ini bisa mereduksi jumlah iterasi dan<em> running time </em>lebih baik dari pada metode <em>steepest descent</em> biasa terutama untuk kasus <em>ill-conditioned </em>yaitu kasus lamanya metode <em>steepest descent</em> mencapai kekonvergenan yang disebabkan oleh perbandingan (rasio) yang besar antara nilai eigen terbesar dan nilai eigen terkecil dari matriks Heisse.