scholarly journals Convolution Powers of the Identity

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marcelo Aguiar ◽  
Aaron Lauve
Keyword(s):  
Lie Algebra ◽  
Characteristic Polynomial ◽  
Hopf Algebras ◽  
Homogeneous Component ◽  
Nous Obtenons ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Combinatorial Description ◽  
Free Generators ◽  
International Audience ◽  
Convolution Powers

International audience We study convolution powers $\mathtt{id}^{\ast n}$ of the identity of graded connected Hopf algebras $H$. (The antipode corresponds to $n=-1$.) The chief result is a complete description of the characteristic polynomial - both eigenvalues and multiplicity - for the action of the operator $\mathtt{id}^{\ast n}$ on each homogeneous component $H_m$. The multiplicities are independent of $n$. This follows from considering the action of the (higher) Eulerian idempotents on a certain Lie algebra $\mathfrak{g}$ associated to $H$. In case $H$ is cofree, we give an alternative (explicit and combinatorial) description in terms of palindromic words in free generators of $\mathfrak{g}$. We obtain identities involving partitions and compositions by specializing $H$ to some familiar combinatorial Hopf algebras. Nous étudions les puissances de convolution $\mathtt{id}^{\ast n}$ de l’identité d’une algèbre de Hopf graduée et connexe $H$ quelconque. (L’antipode correspond à $n=-1$.) Le résultat principal est une description complète du polynôme caractéristique (des valeurs propres et de leurs multiplicités) de l’opérateur $\mathtt{id}^{\ast n}$ agissant sur chaque composante homogène $H_m$. Les multiplicités sont indépendants de $n$. Ceci résulte de l’examen de l’action des idempotents eulériens (supérieures) sur une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ associée à $H$. Dans le cas où $H$ est colibre, nous donnons une description alternative (explicite et combinatoire) en termes de mots palindromes dans les générateurs libres de $\mathfrak{g}$. Nous obtenons des identités impliquant des partitions et compositions en choisissant comme $H$ certaines algèbres de Hopf combinatoires connues.

scholarly journals Combinatorial Hopf Algebras of Simplicial Complexes

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Carolina Benedetti ◽  
Joshua Hallam ◽  
John Machacek
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Simplicial Complexes ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
International Audience ◽  
Donnent Lieu

International audience We consider a Hopf algebra of simplicial complexes and provide a cancellation-free formula for its antipode. We then obtain a family of combinatorial Hopf algebras by defining a family of characters on this Hopf algebra. The characters of these Hopf algebras give rise to symmetric functions that encode information about colorings of simplicial complexes and their $f$-vectors. We also use characters to give a generalization of Stanley’s $(-1)$-color theorem. Nous considérons une algèbre de Hopf de complexes simpliciaux et fournissons une formule sans multiplicité pour son antipode. On obtient ensuite une famille d'algèbres de Hopf combinatoires en définissant une famille de caractères sur cette algèbre de Hopf. Les caractères de ces algèbres de Hopf donnent lieu à des fonctions symétriques qui encode de l’information sur les coloriages du complexe simplicial ainsi que son vecteur-$f$. Nousallons également utiliser des caractères pour donner une généralisation du théorème $(-1)$ de Stanley.

scholarly journals Supercharacters, symmetric functions in noncommuting variables (extended abstract)

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Marcelo Aguiar ◽  
Carlos André ◽  
Carolina Benedetti ◽  
Nantel Bergeron ◽  
Zhi Chen ◽  
...  
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Fourier Analysis ◽  
Finite Field ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We identify two seemingly disparate structures: supercharacters, a useful way of doing Fourier analysis on the group of unipotent uppertriangular matrices with coefficients in a finite field, and the ring of symmetric functions in noncommuting variables. Each is a Hopf algebra and the two are isomorphic as such. This allows developments in each to be transferred. The identification suggests a rich class of examples for the emerging field of combinatorial Hopf algebras. Nous montrons que deux structures en apparence bien différentes peuvent être identifiées: les super-caractères, qui sont un outil commode pour faire de l'analyse de Fourier sur le groupe des matrices unipotentes triangulaires supérieures à coefficients dans un corps fini, et l'anneau des fonctions symétriques en variables non-commutatives. Ces deux structures sont des algèbres de Hopf isomorphes. Cette identification permet de traduire dans une structure les dévelopements conçus pour l'autre, et suggère de nombreux exemples dans le domaine nouveau des algèbres de Hopf combinatoires.

scholarly journals Invariant and coinvariant spaces for the algebra of symmetric polynomials in non-commuting variables

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
François Bergeron ◽  
Aaron Lauve
Keyword(s):  
Tensor Product ◽  
Symmetric Group ◽  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Polynomials ◽  
Reflection Groups ◽  
Invariant Polynomials ◽  
Product Decomposition ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Produit Tensoriel ◽  
International Audience

International audience We analyze the structure of the algebra $\mathbb{K}\langle \mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ of symmetric polynomials in non-commuting variables in so far as it relates to $\mathbb{K}[\mathbf{x}]^{\mathfrak{S}_n}$, its commutative counterpart. Using the "place-action'' of the symmetric group, we are able to realize the latter as the invariant polynomials inside the former. We discover a tensor product decomposition of $\mathbb{K}\langle \mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ analogous to the classical theorems of Chevalley, Shephard-Todd on finite reflection groups. In the case $|\mathbf{x}|= \infty$, our techniques simplify to a form readily generalized to many other familiar pairs of combinatorial Hopf algebras. Nous analysons la structure de l'algèbre $\mathbb{K}\langle \mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ des polynômes symétriques en des variables non-commutatives pour obtenir des analogues des résultats classiques concernant la structure de l'anneau $\mathbb{K}[\mathbf{x}]^{\mathfrak{S}_n}$ des polynômes symétriques en des variables commutatives. Plus précisément, au moyen de "l'action par positions'', on réalise $\mathbb{K}[\mathbf{x}]^{\mathfrak{S}_n}$ comme sous-module de $\mathbb{K}\langle \mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$. On découvre alors une nouvelle décomposition de $\mathbb{K}\langle \mathbf{x}\rangle^{\mathfrak{S}_n}$ comme produit tensoriel, obtenant ainsi un analogue des théorèmes classiques de Chevalley et Shephard-Todd. Dans le cas $|\mathbf{x}|= \infty$, nos techniques se simplifient en une forme aisément généralisables à beaucoup d'autres paires d'algèbres de Hopf familières.

scholarly journals Partial categorification of Hopf algebras and representation theory of towers of \mathcalJ-trivial monoids

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Aladin Virmaux
Keyword(s):  
Representation Theory ◽  
Hopf Algebras ◽  
Hecke Algebras ◽  
Parking Functions ◽  
General Lemma ◽  
Combinatorial Description ◽  
Coalgebra Structure ◽  
International Audience ◽  
Grothendieck Rings ◽  
Boolean Lattices

International audience This paper considers the representation theory of towers of algebras of $\mathcal{J} -trivial$ monoids. Using a very general lemma on induction, we derive a combinatorial description of the algebra and coalgebra structure on the Grothendieck rings $G_0$ and $K_0$. We then apply our theory to some examples. We first retrieve the classical Krob-Thibon's categorification of the pair of Hopf algebras QSym$/NCSF$ as representation theory of the tower of 0-Hecke algebras. Considering the towers of semilattices given by the permutohedron, associahedron, and Boolean lattices, we categorify the algebra and the coalgebra structure of the Hopf algebras $FQSym , PBT$ , and $NCSF$ respectively. Lastly we completely describe the representation theory of the tower of the monoids of Non Decreasing Parking Functions.

scholarly journals Lattice of combinatorial Hopf algebras: binary trees with multiplicities

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Baptiste Priez
Keyword(s):  
Hopf Algebra ◽  
Hopf Algebras ◽  
Lattice Structure ◽  
Binary Trees ◽  
Hook Length ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Combinatorial Hopf Algebra ◽  
International Audience ◽  
Comme Application ◽  
Premiere Partie

International audience In a first part, we formalize the construction of combinatorial Hopf algebras from plactic-like monoids using polynomial realizations. Thank to this construction we reveal a lattice structure on those combinatorial Hopf algebras. As an application, we construct a new combinatorial Hopf algebra on binary trees with multiplicities and use it to prove a hook length formula for those trees. Dans une première partie, nous formalisons la construction d’algèbres de Hopf combinatoires à partir d’une réalisation polynomiale et de monoïdes de type monoïde plaxique. Grâce à cette construction, nous mettons à jour une structure de treillis sur ces algèbres de Hopf combinatoires. Comme application, nous construisons une nouvelle algèbre de Hopf sur des arbres binaires à multiplicités et on l’utilise pour démontrer une formule des équerressur ces arbres.

scholarly journals Weighted partitions

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Rafael González S. D'León ◽  
Michelle L. Wachs
Keyword(s):  
Lie Algebra ◽  
Characteristic Polynomial ◽  
Rooted Trees ◽  
Free Lie Algebra ◽  
International Audience

International audience In this extended abstract we consider the poset of weighted partitions Π _n^w, introduced by Dotsenko and Khoroshkin in their study of a certain pair of dual operads. The maximal intervals of Π _n^w provide a generalization of the lattice Π _n of partitions, which we show possesses many of the well-known properties of Π _n. In particular, we prove these intervals are EL-shellable, we compute the Möbius invariant in terms of rooted trees, we find combinatorial bases for homology and cohomology, and we give an explicit sign twisted <mathfrak>S</mathfrak>_n-module isomorphism from cohomology to the multilinear component of the free Lie algebra with two compatible brackets. We also show that the characteristic polynomial of Π _n^w has a nice factorization analogous to that of Π _n.

scholarly journals Redfield-Pólya theorem in $\mathrm{WSym}$

2013 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AS,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Paul Bultel ◽  
Ali Chouria ◽  
Jean-Gabriel Luque ◽  
Olivier Mallet
Keyword(s):  
Hopf Algebras ◽  
Symmetric Functions ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
International Audience

International audience We give noncommutative versions of the Redfield-Pólya theorem in $\mathrm{WSym}$, the algebra of word symmetric functions, and in other related combinatorial Hopf algebras. Nous donnons des versions non-commutatives du théorème d’énumération de Redfield-Pólya dans $\mathrm{WSym}$, l’algèbre des fonctions symétriques sur les mots, ainsi que dans d’autres algèbres de Hopf combinatoires.

scholarly journals Card-Shuffling via Convolutions of Projections on Combinatorial Hopf Algebras

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
C. Y. Amy Pang
Keyword(s):  
Markov Chains ◽  
Hopf Algebras ◽  
Present Note ◽  
Explicit Computation ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Nous Permet ◽  
Product Operator ◽  
International Audience ◽  
Product Map

International audience Recently, Diaconis, Ram and I created Markov chains out of the coproduct-then-product operator on combinatorial Hopf algebras. These chains model the breaking and recombining of combinatorial objects. Our motivating example was the riffle-shuffling of a deck of cards, for which this Hopf algebra connection allowed explicit computation of all the eigenfunctions. The present note replaces in this construction the coproduct-then-product map with convolutions of projections to the graded subspaces, effectively allowing us to dictate the distribution of sizes of the pieces in the breaking step of the previous chains. An important example is removing one “vertex” and reattaching it, in analogy with top-to-random shuffling. This larger family of Markov chains all admit analysis by Hopf-algebraic techniques. There are simple combinatorial expressions for their stationary distributions and for their eigenvalues and multiplicities and, in some cases, the eigenfunctions are also calculable. Récemment, avec Diaconis et Ram, nous avons construit des chaines de Markov à partir de l’opérateur “coproduit-puis-produit” défini sur un algèbre de Hopf combinatoire. Ces chaines modélisent la déconstruction et la construction d’objets combinatoires. La motivation était le “mélange à l’américaine”, une méthode populaire pour mélanger un jeu de cartes, pour lequel les liens avec les algèbres de Hopf combinatoires nous a permis de calculer explicitement toutes les fonctions propres. Ici, on généralise cette construction en remplaçant l’opérateur “coproduit-puis-produit” par les convolutions de projections sur les composantes graduées de l’algèbre. Ceci nous permet de stipuler les tailles des pièces dans la décomposition des objets combinatoires. Un exemple important est la suppression et l’insertion d’un “sommet”, par analogie avec la bibliothèque de Tsetlin. On constate que toutes ces chaines peuvent être analysées par des techniques provenant de la théorie des algèbres de Hopf combinatoires. On prouve des expressions combinatoires simples pour les distributions stationnaires ainsi que pour les valeurs propres et leurs multiplicités. Dans certains cas, il est possible de calculer les fonctions propres associées.

scholarly journals Combinatorial Hopf Algebras and Towers of Algebras

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Nantel Bergeron ◽  
Thomas Lam ◽  
Huilan Li
Keyword(s):  
Hopf Algebras ◽  
Primitive Elements ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Grothendieck Groups ◽  
International Audience ◽  
Dual Graded Graphs ◽  
Tower Of Algebras

International audience Bergeron and Li have introduced a set of axioms which guarantee that the Grothendieck groups of a tower of algebras $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ can be endowed with the structure of graded dual Hopf algebras. Hivert and Nzeutzhap, and independently Lam and Shimozono constructed dual graded graphs from primitive elements in Hopf algebras. In this paper we apply the composition of these constructions to towers of algebras. We show that if a tower $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ gives rise to graded dual Hopf algebras then we must have $\dim (A_n)=r^nn!$ where $r = \dim (A_1)$. Bergeron et Li ont donné un ensemble d'axiomes qui garanti que les groupes de Grothendieck d'une tour d'algèbres $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ peuvent être dotés d'une structure d'algèbres de Hopf graduées duales. Hivert et Nzeutzhap, et indépen\-damment Lam et Shimozono, ont construit des graphes gradués duals à partir d'éléments primitifs dans des algèbres de Hopf. Dans cet article, nous appliquons la composition de ces constructions aux tours des algèbres. Nous prouvons que si une tour $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ donne des algèbres de Hopf graduées duales, alors nous devons avoir $\dim (A_n)=r^nn!$ où $r = \dim (A_1)$.

scholarly journals The # product in combinatorial Hopf algebras

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jean-Christophe Aval ◽  
Jean-Christophe Novelli ◽  
Jean-Yves Thibon
Keyword(s):  
Associative Algebra ◽  
Hopf Algebras ◽  
Binary Trees ◽  
Free Associative Algebra ◽  
Combinatorial Hopf Algebras ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We show that the # product of binary trees introduced by Aval and Viennot (2008) is in fact defined at the level of the free associative algebra, and can be extended to most of the classical combinatorial Hopf algebras. Nous montrons que le produit # introduit par Aval et Viennot (2008) est défini au niveau de l'algèbre associative libre, et peut être étendu à la plupart des algèbres de Hopf combinatoires classiques.

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