scholarly journals Constructing neighborly polytopes and oriented matroids

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Arnau Padrol
Keyword(s):  
Oriented Matroids ◽  
New Technique ◽  
Oriented Matroid ◽  
Nous Proposons ◽  
International Audience ◽  
New Construction ◽  
A New Technique ◽  
Neighborly Polytope

International audience A $d$-polytope $P$ is neighborly if every subset of $\lfloor\frac{d}{2}\rfloor $vertices is a face of $P$. In 1982, Shemer introduced a sewing construction that allows to add a vertex to a neighborly polytope in such a way as to obtain a new neighborly polytope. With this, he constructed superexponentially many different neighborly polytopes. The concept of neighborliness extends naturally to oriented matroids. Duals of neighborly oriented matroids also have a nice characterization: balanced oriented matroids. In this paper, we generalize Shemer's sewing construction to oriented matroids, providing a simpler proof. Moreover we provide a new technique that allows to construct balanced oriented matroids. In the dual setting, it constructs a neighborly oriented matroid whose contraction at a particular vertex is a prescribed neighborly oriented matroid. We compare the families of polytopes that can be constructed with both methods, and show that the new construction allows to construct many new polytopes. Un $d$-polytope $P$ est $\textit{neighborly}$ si tout sous-ensemble de $\lfloor\frac{d}{2}\rfloor $ sommets forme une face de $P$. En 1982, Shemer a introduit une construction de couture qui permet de rajouter un sommet à un polytope $\textit{neighborly}$ et d'obtenir un nouveau polytope $\textit{neighborly}$. Cette construction lui permet de construire un nombre super-exponentiel de polytopes $\textit{neighborly}$ distincts. Le concept de $\textit{neighborliness}$ s'étend naturellement aux matroïdes orientés. Les duaux de matroïdes orientés $\textit{neighborly}$ ont de plus une belle caractérisation: ce sont les matroïdes orientés équilibrés. Dans cet article, nous généralisons la construction de couture de Shemer aux matroïdes orientés, ce qui en fournit une démonstration plus simple. Par ailleurs, nous proposons une nouvelle technique qui permet de construire matroïdes orientés équilibrés. Dans le cadre dual, on obtient un matroïde $\textit{neighborly}$ dont la contraction à un sommet distinguè est un matroïde $\textit{neighborly}$ prescrit. Nous comparons les familles de polytopes qui peuvent être construites avec ces deux méthodes, et montrons que la nouvelle construction permet de construire plusieurs nouveaux polytopes.

scholarly journals Triangulations of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ and Tropical Oriented Matroids

2011 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AO,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Suho Oh ◽  
Hwanchul Yoo
Keyword(s):  
Oriented Matroids ◽  
Oriented Matroid ◽  
Nous Proposons ◽  
Combinatorial Objects ◽  
New Class ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Tropical Polytopes

International audience Develin and Sturmfels showed that regular triangulations of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ can be thought of as tropical polytopes. Tropical oriented matroids were defined by Ardila and Develin, and were conjectured to be in bijection with all subdivisions of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$. In this paper, we show that any triangulation of $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ encodes a tropical oriented matroid. We also suggest a new class of combinatorial objects that may describe all subdivisions of a bigger class of polytopes. Develin et Sturmfels ont montré que les triangulations de $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ peuvent être considérées comme des polytopes tropicaux. Les matroïdes orientés tropicaux ont été définis par Ardila et Develin, et ils ont été conjecturés être en bijection avec les subdivisions de $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$. Dans cet article, nous montrons que toute triangulation de $\Delta_{n-1} \times \Delta_{d-1}$ encode un matroïde orienté tropical. De plus, nous proposons une nouvelle classe d'objets combinatoires qui peuvent décrire toutes les subdivisions d'une plus grande classe de polytopes.

scholarly journals Dyck path triangulations and extendability (extended abstract)

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Cesar Ceballos ◽  
Arnau Padrol ◽  
Camilo Sarmiento
Keyword(s):  
Cartesian Product ◽  
Explicit Construction ◽  
Oriented Matroids ◽  
Oriented Matroid ◽  
Dyck Path ◽  
Matroid Theory ◽  
Dyck Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience We introduce the Dyck path triangulation of the cartesian product of two simplices $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. The maximal simplices of this triangulation are given by Dyck paths, and its construction naturally generalizes to produce triangulations of $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ using rational Dyck paths. Our study of the Dyck path triangulation is motivated by extendability problems of partial triangulations of products of two simplices. We show that whenever$m\geq k>n$, any triangulations of $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ extends to a unique triangulation of $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. Moreover, with an explicit construction, we prove that the bound $k>n$ is optimal. We also exhibit interpretations of our results in the language of tropical oriented matroids, which are analogous to classical results in oriented matroid theory. Nous introduisons la triangulation par chemins de Dyck du produit cartésien de deux simplexes $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. Les simplexes maximaux de cette triangulation sont donnés par des chemins de Dyck, et cette construction se généralise de façon naturelle pour produire des triangulations $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ qui utilisent des chemins de Dyck rationnels. Notre étude de la triangulation par chemins de Dyck est motivée par des problèmes de prolongement de triangulations partielles de produits de deux simplexes. On montre que $m\geq k>n$ alors toute triangulation de $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ se prolonge en une unique triangulation de $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. De plus, avec une construction explicite, nous montrons que la borne $k>n$ est optimale. Nous présentons aussi des interprétations de nos résultats dans le langage des matroïdes orientés tropicaux, qui sont analogues aux résultats classiques de la théorie des matroïdes orientés.

scholarly journals Positroids, non-crossing partitions, and positively oriented matroids

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Federico Ardila ◽  
Felipe Rincón ◽  
Lauren Williams
Keyword(s):  
Vector Space ◽  
Closed Ball ◽  
Oriented Matroids ◽  
Real Vector Space ◽  
Oriented Matroid ◽  
Real Vector ◽  
International Audience

International audience We investigate the role that non-crossing partitions play in the study of positroids, a class of matroids introduced by Postnikov. We prove that every positroid can be constructed uniquely by choosing a non-crossing partition on the ground set, and then freely placing the structure of a connected positroid on each of the blocks of the partition. We use this to enumerate connected positroids, and we prove that the probability that a positroid on [n] is connected equals $1/e^2$ asymptotically. We also prove da Silva's 1987 conjecture that any positively oriented matroid is a positroid; that is, it can be realized by a set of vectors in a real vector space. It follows from this result that the positive matroid Grassmannian (or <i>positive MacPhersonian</i>) is homeomorphic to a closed ball.

scholarly journals Tropical Oriented Matroids

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Silke Horn
Keyword(s):  
Representation Theorem ◽  
Oriented Matroids ◽  
Oriented Matroid ◽  
Topological Representation ◽  
International Audience

International audience Tropical oriented matroids were defined by Ardila and Develin in 2007. They are a tropical analogue of classical oriented matroids in the sense that they encode the properties of the types of points in an arrangement of tropical hyperplanes – in much the same way as the covectors of (classical) oriented matroids describe the types in arrangements of linear hyperplanes. Not every oriented matroid can be realised by an arrangement of linear hyperplanes though. The famous Topological Representation Theorem by Folkman and Lawrence, however, states that every oriented matroid can be represented as an arrangement of $\textit{pseudo}$hyperplanes. Ardila and Develin proved that tropical oriented matroids can be represented as mixed subdivisions of dilated simplices. In this paper I prove that this correspondence is a bijection. Moreover, I present a tropical analogue for the Topological Representation Theorem. La notion de matroïde orientè tropical a été introduite par Ardila et Develin en 2007. Ils sont un analogue des matroïdes orientés classiques dans le sens où ils codent les propriétés des types de points dans un arrangement d'hyperplans tropicaux – d'une manière très similaire à celle dont les covecteurs des matroïdes orientés (classiques) décrivent les types de points dans les arrangements d'hyperplans linéaires. Tous les matroïdes orientés ne peuvent pas être représentés par un arrangement d'hyperplans linéaires. Cependant le célèbre théorème de représentation topologique de Folkman et Lawrence affirme que tout matroïde orientè peut être représenté par un arrangement de $\textit{pseudo}$-hyperplans. Ardila et Develin ont prouvè que les matroïdes orientés tropicaux peuvent être représentés par des sous-divisions mixtes de simplexes dilatés. Je prouve dans cet article que cette correspondance est une bijection. Je présente en outre, un analogue tropical du théorème de représentation topologique.

scholarly journals A generalisation of two partition theorems of Andrews

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Jehanne Dousse
Keyword(s):  
Representation Theory ◽  
Difference Equations ◽  
Generating Functions ◽  
Quantum Algebra ◽  
New Technique ◽  
Schur’S Theorem ◽  
Partition Identity ◽  
Partition Theorems ◽  
International Audience ◽  
A New Technique

International audience In 1968 and 1969, Andrews proved two partition theorems of the Rogers-Ramanujan type which generalise Schur’s celebrated partition identity (1926). Andrews’ two generalisations of Schur’s theorem went on to become two of the most influential results in the theory of partitions, finding applications in combinatorics, representation theory and quantum algebra. In this paper we generalise both of Andrews’ theorems to overpartitions. The proofs use a new technique which consists in going back and forth from $q$-difference equations on generating functions to recurrence equations on their coefficients. En 1968 et 1969, Andrews a prouvé deux identités de partitions du type Rogers-Ramanujan qui généralisent le célèbre théorème de Schur (1926). Ces deux généralisations sont devenues deux des théorèmes les plus importants de la théorie des partitions, avec des applications en combinatoire, en théorie des représentations et en algèbre quantique. Dans ce papier, nous généralisons les deux théorèmes de Andrews aux surpartitions. Les preuves utilisent une nouvelle technique qui consiste à faire des allers-retours entre équations aux $q$-différences sur les séries génératrices et équations de récurrence sur leurs coefficients.

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