Convergence Analysis of Schwarz Waveform Relaxation for Nonlocal Diffusion Problems

Diffusion equations with Riemann–Liouville fractional derivatives are Volterra integro-partial differential equations with weakly singular kernels and present fundamental challenges for numerical computation. In this paper, we make a convergence analysis of the Schwarz waveform relaxation (SWR) algorithms with Robin transmission conditions (TCs) for these problems. We focus on deriving good choice of the parameter involved in the Robin TCs, at the continuous and fully discretized level. Particularly, at the space-time continuous level, we show that the derived Robin parameter is much better than the one predicted by the well-understood equioscillation principle. At the fully discretized level, the problem of determining a good Robin parameter is studied in the convolution quadrature framework, which permits us to precisely capture the effects of different temporal discretization methods on the convergence rate of the SWR algorithms. The results obtained in this paper will be preliminary preparations for our further study of the SWR algorithms for integro-partial differential equations.

Quasi-overlapping Semi-discrete Schwarz Waveform Relaxation Algorithms: The Hyperbolic Problem

The Schwarz waveform relaxation (SWR) algorithms have many favorable properties and are extensively studied and investigated for solving time dependent problems mainly at a continuous level. In this paper, we consider a semi-discrete level analysis and we investigate the convergence behavior of what so-called semi-discrete SWR algorithms combined with discrete transmission conditions instead of the continuous ones. We shall target here the hyperbolic problems but not the parabolic problems that are usually considered by most of the researchers in general when investigating the properties of the SWR methods. We first present the classical overlapping semi-discrete SWR algorithms with different partitioning choices and show that they converge very slow. We then introduce optimal, optimized, and quasi optimized overlapping semi-discrete SWR algorithms using new transmission conditions also with different partitioning choices. We show that the new algorithms lead to a much better convergence through using discrete transmission conditions associated with the optimized SWR algorithms at the semi-discrete level. In the performed semi-discrete level analysis, we also demonstrate the fact that as the ratio between the overlap size and the spatial discretization size gets bigger, the convergence factor gets smaller which results in a better convergence. Numerical results and experiments are presented in order to confirm the theoretical aspects of the proposed algorithms and providing an evidence of their usefulness and their accuracy.

SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP PHÂN MIỀN SWR ỨNG VỚI DÃY THAM SỐ

Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự hội tụ của thuật toán phân miền Schwarz waveform relaxation (SWR) ứng với dãy tham số giải phương trình đối lưu – khuếch tán một chiều. Cụ thể, chúng tôi sẽ đưa ra một điều kiện đủ để xây dựng dãy các tham số sao cho thuật toán tối ưu SWR tương ứng với dãy tham số đó hội tụ. Cuối cùng, chúng tôi đề xuất một ví dụ các dãy tham số thỏa mãn điều kiện của định lí.

Ứng dụng công nghệ Bluetooth và cảm biến ánh sáng để thiết kế hệ thống vẽ cường độ vân giao thoa, nhiễu xạ

Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự hội tụ của thuật toán phân miền Schwarz waveform relaxation (SWR) ứng với dãy tham số giải phương trình đối lưu – khuếch tán một chiều. Cụ thể, chúng tôi sẽ đưa ra một điều kiện đủ để xây dựng dãy các tham số sao cho thuật toán tối ưu SWR tương ứng với dãy tham số đó hội tụ. Cuối cùng, chúng tôi đề xuất một ví dụ các dãy tham số thỏa mãn điều kiện của định lí.