Nicolaus Cusanus und implizite Funktionen

ZusammenfassungNicolaus Cusanus’ Beiträge zur Mathematik des 15. Jahrhunderts betreffen hauptsächlich Kreisquadraturen. Wir besprechen seinen frühesten Versuch auf diesem Gebiet, der zu einer überraschend guten Approximation der Zahl $$\pi$$ π führt. In seiner Begründung stellt Cusanus Behauptungen auf, die sich, modern gesprochen, in Aussagen über implizite Funktionen übersetzen lassen. Wir beweisen diese Aussagen und diskutieren Joseph Ehrenfried Hofmanns Beweisversuch, der 70 Jahre zurückliegt.

Mathematische Grundlagen der Künstlichen Intelligenz im Schulunterricht

ZusammenfassungEin Anspruch des mathematischen Modellierungsunterrichts in der Schule sollte es sein, besonders aktuelle Probleme und interessante neue Technologien aus dem Alltag der Schüler/innen einzubeziehen. Dies gilt insbesondere, wenn sie eine didaktische Reduktion auf elementare (schul-)mathematische Inhalte leicht zulassen. Künstliche Intelligenz (KI) zieht sich durch verschiedene Bereiche von Wissenschaft und Technik und verbirgt sich insbesondere hinter zahlreichen Anwendungen unseres Alltags.In diesem Beitrag wird diskutiert, wie ein zeitgemäßer Mathematikunterricht durch die Modellierung realer, schülernaher Probleme aus dem Bereich KI bereichert werden kann. Dazu werden zwei Methoden und deren didaktische Reduktion für den Einsatz in einem computergestützten Mathematikunterricht vorgestellt.Bei der problemorientierten Diskussion beider Methoden werden zwei alltägliche Problemstellungen in den Blick genommen: Zum einen Klassifizierungsprobleme und deren Lösung mithilfe der sogenannten Stützvektormethode (SVM), die auf der Berechnung des Abstandes von Punkten zu Hyperebenen beruht; zum anderen Empfehlungssysteme, die auf einer Matrix-Faktorisierung basieren können.Zu beiden Problemstellungen wurden digitale Lernmaterialien für Oberstufenschüler/innen entwickelt, die im Rahmen von eintägigen Workshops zur mathematischen Modellierung bereits mehrfach erprobt wurden. Die digitale Umsetzung als Jupyter Notebooks wird abschließend beschrieben und steht den Leser/innen als Open Educational Resources unter einer Creative Commons Lizenz zur Verfügung.

Two-valued number pyramids

Number pyramids are common in elementary school mathematics. Trying to express the value of the top block in terms of the values at the base leads to the binomial coefficients. It also seems natural to ask for the maximal number of odd numbers in a number pyramid of a given size. The answer is easy to state, but the proof is nontrivial: A $$k$$ k step number pyramid can have at most $$\left\lfloor\frac{k(k+1)+1}{3}\right\rfloor$$ k ( k + 1 ) + 1 3 odd numbers, which equals two thirds of the number of blocks rounded to the nearest integer. All maximal and almost maximal solutions are given explicitly. To this end, we rephrase the question in terms of colored tilings. In the outlook we present relations to other—mostly geometric—subjects and problems.

Intuition and exponential growth: bias and the roles of parameterization and complexity

Exponential growth bias is the phenomenon that humans intuitively underestimate exponential growth. This article reports on an experiment where treatments differ in the parameterization of growth: Exponential growth is communicated to one group in terms of growth rates, and in terms of doubling times to the other. Exponential growth bias is much smaller when doubling times are employed. Considering that in many applications, individuals face a choice between different growth rates, rather than between exponential growth and zero growth, we ask a question where growth is reduced from high to low. Subjects vastly underestimate the effect of this reduction, though less so in the parameterization using doubling times. The answers to this question are more severely biased than one would expect from the answers to the exponential growth questions. These biases emerge despite the sample being highly educated and exhibiting awareness of exponential growth bias. Implications for teaching, the usefulness of heuristics, and policy are discussed.

Hausdorff’s forgotten proof that almost all numbers are normal

In 1914, Felix Hausdorff published an elegant proof that almost all numbers are simply normal in base 2. We generalize this proof to show that almost all numbers are normal. The result is arguably the most elementary proof for this theorem so far and should be accessible to undergraduates in their first year.