TRIGONOMETRIC-TYPE IDENTITIES AND THE PARITY OF BALANCING AND LUCAS-BALANCING NUMBERS

Các số cân bằng n được định nghĩa như là nghiệm của phương trình Diophantus 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + · · · + (n + r), trong đó r được gọi là hệ số cân bằng ứng với số cân bằng n. Tương tự như vậy, n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng r nếu 1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + · · · + (n + r). Ký hiệu Bn là số cân bằng thứ n và bn là số đối cân bằng thứ n. Khi đó, 8Bn2 + 1 và 8b 2n +8bn +1 là những số chính phương. Số Lucas-cân bằng thứ n, ký hiệu Cn, và số Lucas-đối cân bằng thứ n, ký hiệu cn, lần lượt là các căn bậc hai dương của 8Bn2 + 1 và 8b 2n + 8bn + 1. Trong bài báo này, bằng những tính toán sơ cấp, chúng tôi thiết lập một số đẳng thức kiểu lượng giác và từ đó chỉ ra một số tính chất số học liên quan đến tính chẵn lẻ của các số cân bằng, các số đối cân bằng, các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng.