scholarly journals Alignments, crossings, cycles, inversions, and weak Bruhat order in permutation tableaux of type $B$

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Soojin Cho ◽  
Kyoungsuk Park
Keyword(s):  
Bruhat Order ◽  
Type B ◽  
Coxeter System ◽  
Covering Relation ◽  
Signed Permutations ◽  
Weak Bruhat Order ◽  
International Audience

International audience Alignments, crossings and inversions of signed permutations are realized in the corresponding permutation tableaux of type $B$, and the cycles of signed permutations are understood in the corresponding bare tableaux of type $B$. We find the relation between the number of alignments, crossings and other statistics of signed permutations, and also characterize the covering relation in weak Bruhat order on Coxeter system of type $B$ in terms of permutation tableaux of type $B$. De nombreuses statistiques importantes des permutations signées sont réalisées dans les tableaux de permutations ou ”bare” tableaux de type $B$ correspondants : les alignements, croisements et inversions des permutations signées sont réalisés dans les tableaux de permutations de type $B$ correspondants, et les cycles des permutations signées sont comprises dans les ”bare” tableaux de type $B$ correspondants. Cela nous mène à relier le nombre d’alignements et de croisements avec d’autres statistiques des permutations signées, et aussi de caractériser la relation de couverture dans l’ordre de Bruhat faible sur des systèmes de Coxeter de type $B$ en termes de tableaux de permutations de type $B$.

scholarly journals Boolean complexes and boolean numbers

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Bridget Eileen Tenner
Keyword(s):  
Coxeter Group ◽  
Bruhat Order ◽  
Graph Invariant ◽  
Coxeter System ◽  
Combinatorial Properties ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience ◽  
Order Ideals ◽  
Simplicial Poset ◽  
The Ideal

International audience The Bruhat order gives a poset structure to any Coxeter group. The ideal of elements in this poset having boolean principal order ideals forms a simplicial poset. This simplicial poset defines the boolean complex for the group. In a Coxeter system of rank n, we show that the boolean complex is homotopy equivalent to a wedge of (n-1)-dimensional spheres. The number of these spheres is the boolean number, which can be computed inductively from the unlabeled Coxeter system, thus defining a graph invariant. For certain families of graphs, the boolean numbers have intriguing combinatorial properties. This work involves joint efforts with Claesson, Kitaev, and Ragnarsson. \par L'ordre de Bruhat munit tout groupe de Coxeter d'une structure de poset. L'idéal composé des éléments de ce poset engendrant des idéaux principaux ordonnés booléens, forme un poset simplicial. Ce poset simplicial définit le complexe booléen pour le groupe. Dans un système de Coxeter de rang n, nous montrons que le complexe booléen est homotopiquement équivalent à un bouquet de sphères de dimension (n-1). Le nombre de ces sphères est le nombre booléen, qui peut être calculé inductivement à partir du système de Coxeter non-étiquetté; définissant ainsi un invariant de graphe. Pour certaines familles de graphes, les nombres booléens satisfont des propriétés combinatoires intriguantes. Ce travail est une collaboration entre Claesson, Kitaev, et Ragnarsson.

scholarly journals The Sorting Order on a Coxeter Group

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Drew Armstrong
Keyword(s):  
Distributive Lattice ◽  
Partial Order ◽  
Coxeter Group ◽  
Bruhat Order ◽  
Distributive Lattices ◽  
Coxeter System ◽  
Maximal Lattice ◽  
International Audience ◽  
The Way

International audience Let $(W,S)$ be an arbitrary Coxeter system. For each sequence $\omega =(\omega_1,\omega_2,\ldots) \in S^{\ast}$ in the generators we define a partial order― called the $\omega \mathsf{-sorting order}$ ―on the set of group elements $W_{\omega} \subseteq W$ that occur as finite subwords of $\omega$ . We show that the $\omega$-sorting order is a supersolvable join-distributive lattice and that it is strictly between the weak and strong Bruhat orders on the group. Moreover, the $\omega$-sorting order is a "maximal lattice'' in the sense that the addition of any collection of edges from the Bruhat order results in a nonlattice. Along the way we define a class of structures called $\mathsf{supersolvable}$ $\mathsf{antimatroids}$ and we show that these are equivalent to the class of supersolvable join-distributive lattices.

scholarly journals Les polynômes eul\IeC èriens stables de type B

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Mirkó Visontai ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Linear Operator ◽  
Type B ◽  
Multivariate Polynomial ◽  
Eulerian Polynomial ◽  
Eulerian Polynomials ◽  
Signed Permutations ◽  
International Audience ◽  
Multiple Variables ◽  
Real Stability

International audience We give a multivariate analog of the type B Eulerian polynomial introduced by Brenti. We prove that this multivariate polynomial is stable generalizing Brenti's result that every root of the type B Eulerian polynomial is real. Our proof combines a refinement of the descent statistic for signed permutations with the notion of real stability—a generalization of real-rootedness to polynomials in multiple variables. The key is that our refined multivariate Eulerian polynomials satisfy a recurrence given by a stability-preserving linear operator. Nous prèsentons un raffinement multivariè d'un polynôme eulèrien de type B dèfini par Brenti. En prouvant que ce polynôme est stable nous gènèralisons un rèsultat de Brenti selon laquel chaque racine du polynôme eulèrien de type B est rèelle. Notre preuve combine un raffinement de la statistique des descentes pour les permutations signèes avec la stabilitè—une gènèralisation de la propriètè d'avoir uniquement des racines rèelles aux polynômes en plusieurs variables. La connexion est que nos polynômes eulèriens raffinès satisfont une rècurrence donnèe par un opèrateur linèaire qui prèserve la stabilitè.

scholarly journals Depth in Coxeter groups of type $B$

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Eli Bagno ◽  
Riccardo Biagioli ◽  
Mordechai Novick
Keyword(s):  
Coxeter Group ◽  
Simple Formula ◽  
Coxeter Groups ◽  
Type B ◽  
Minimal Path ◽  
Signed Permutation ◽  
Signed Permutations ◽  
International Audience ◽  
Path Cost

International audience The depth statistic was defined for every Coxeter group in terms of factorizations of its elements into product of reflections. Essentially, the depth gives the minimal path cost in the Bruaht graph, where the edges have prescribed weights. We present an algorithm for calculating the depth of a signed permutation which yields a simple formula for this statistic. We use our algorithm to characterize signed permutations having depth equal to length. These are the fully commutative top-and-bottom elements defined by Stembridge. We finally give a characterization of the signed permutations in which the reflection length coincides with both the depth and the length. La statistique profondeur a été introduite par Petersen et Tenner pour tout groupe de Coxeter $W$. Elle est définie pour tout $w \in W$ à partir de ses factorisations en produit de réflexions (non nécessairement simples). Pour le type $B$, nous introduisons un algorithme calculant la profondeur, et donnant une formule explicite pour cette statistique. On utilise par ailleurs cet algorithme pour caractériser tous les éléments ayant une profondeur égale à leur longueur. Ces derniers s’avèrent être les éléments pleinement commutatifs “hauts-et-bas” introduits par Stembridge. Nous donnons enfin une caractérisation des éléments dont la longueur absolue, la profondeur et la longueur coïncident.

scholarly journals Generalized Dyck tilings (Extended Abstract)

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Matthieu Josuat-Vergès ◽  
Jang Soo Kim
Keyword(s):  
Hermite Polynomials ◽  
Bruhat Order ◽  
Point Of View ◽  
Weak Order ◽  
Nous Sommes ◽  
Signed Permutations ◽  
Dyck Paths ◽  
Nous Montrons ◽  
International Audience

International audience Recently, Kenyon and Wilson introduced Dyck tilings, which are certain tilings of the region between two Dyck paths. The enumeration of Dyck tilings is related with hook formulas for forests and the combinatorics of Hermite polynomials. The first goal of this work is to give an alternative point of view on Dyck tilings by making use of the weak order and the Bruhat order on permutations. Then we introduce two natural generalizations: $k$-Dyck tilings and symmetric Dyck tilings. We are led to consider Stirling permutations, and define an analogue of the Bruhat order on them. We show that certain families of $k$-Dyck tilings are in bijection with intervals in this order. We enumerate symmetric Dyck tilings and show that certain families of symmetric Dyck tilings are in bijection with intervals in the weak order on signed permutations. Récemment, Kenyon et Wilson ont introduit les pavages de Dyck, qui sont des pavages de la région comprise entre deux chemins de Dyck. L’énumération des pavages de Dyck est reliée aux formules d’équerre sur les forêts et à la combinatoire des polynômes de Hermite. Le premier but de ce travail est de donner un point de vue alternatif sur les pavages de Dyck, en utilisant l’ordre faible et l’ordre de Bruhat sur les permutations. Nous introduisons ensuite deux généralisations naturelles: les $k$-pavages de Dyck et les pavages de Dyck symétriques. Nous sommes amenés àconsidérer les permutations de Stirling, et définissons un analogue de l’ordre de Bruhat. Nous montrons que certaines familles de $k$-pavages de Dyck sont en bijection avec des intervalles de cet ordre. Nous énumérons les pavages de Dyck symétriques et montrons que certaines familles de pavages de Dyck symétriques sont en bijection avec des intervalles de l’ordre faible sur les permutations signées.

scholarly journals Higher Bruhat Orders in Type B

10.37236/5620 ◽  
2016 ◽  
Vol 23 (3) ◽  
Author(s):  
Seth Shelley-Abrahamson ◽  
Suhas Vijaykumar
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Minimal Element ◽  
Partially Ordered Sets ◽  
Bruhat Order ◽  
Hyperplane Arrangements ◽  
Type B ◽  
Ordered Sets ◽  
Weak Bruhat Order ◽  
Positive Integers ◽  
Maximal Chains

Motivated by the geometry of hyperplane arrangements, Manin and Schechtman defined for each integer $n \geq 1$ a hierarchy of finite partially ordered sets $B(n, k),$ indexed by positive integers $k$, called the higher Bruhat orders.  The poset $B(n, 1)$ is naturally identified with the weak left Bruhat order on the symmetric group $S_n$, each $B(n, k)$ has a unique maximal and a unique minimal element, and the poset $B(n, k + 1)$ can be constructed from the set of maximal chains in $B(n, k)$.  Ben Elias has demonstrated a striking connection between the posets $B(n, k)$ for $k = 2$ and the diagrammatics of Bott-Samelson bimodules in type A, providing significant motivation for the development of an analogous theory of higher Bruhat orders in other Cartan-Killing types, particularly for $k = 2$.  In this paper we present a partial generalization to type B, complete up to $k = 2$, prove a direct analogue of the main theorem of Manin and Schechtman, and relate our construction to the weak Bruhat order and reduced expression graph for Weyl group $B_n$.

scholarly journals Quasisymmetric Schur functions and modules of the $0$-Hecke algebra

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Vasu Tewari ◽  
Stephanie van Willigenburg
Keyword(s):  
Schur Functions ◽  
Hecke Algebra ◽  
Bruhat Order ◽  
Schur Function ◽  
Quasisymmetric Functions ◽  
Weak Bruhat Order ◽  
International Audience ◽  
Quasisymmetric Schur Functions ◽  
Hecke Modules ◽  
Composition Tableaux

International audience We define a $0$-Hecke action on composition tableaux, and then use it to derive $0$-Hecke modules whose quasisymmetric characteristic is a quasisymmetric Schur function. We then relate the modules to the weak Bruhat order and use them to derive a new basis for quasisymmetric functions. We also classify those modules that are tableau-cyclic and likewise indecomposable. Finally, we develop a restriction rule that reflects the coproduct of quasisymmetric Schur functions. Nous définissons une action $0$-Hecke sur les tableaux de composition, et ensuite nous l’utilisons pour dériver les modules $0$-Hecke dont la caractéristique quasi-symétrique est une fonction de Schur quasi-symétrique. Nous mettons les modules en relation avec l’ordre de Bruhat faible et les utilisons pour dériver une nouvelle base pour les fonctions quasi-symétriques. Nous classons aussi ces modules qui sont tableau-cycliques et aussi indécomposable. Enfin, nous développons une règle de restriction qui reflète le coproduit des fonctions de Schur quasi-symétriques.

scholarly journals Type B plactic relations for $r$-domino tableaux

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Müge Taşkın
Keyword(s):  
Recent Work ◽  
Equivalence Relation ◽  
Type B ◽  
Domino Tableaux ◽  
Signed Permutations ◽  
International Audience

International audience The recent work of Bonnafé et al. (2007) shows through two conjectures that $r$-domino tableaux have an important role in Kazhdan-Lusztig theory of type $B$ with unequal parameters. In this paper we provide plactic relations on signed permutations which determine whether given two signed permutations have the same insertion $r$-domino tableaux in Garfinkle's algorithm (1990). Moreover, we show that a particular extension of these relations can describe Garfinkle's equivalence relation on $r$-domino tableaux which is given through the notion of open cycles. With these results we enunciate the conjectures of Bonnafé et al. and provide necessary tool for their proofs.

scholarly journals Cataland: Why the Fuss?

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Christian Stump ◽  
Hugh Thomas ◽  
Nathan Williams
Keyword(s):  
Coxeter System ◽  
Cluster Complexes ◽  
The Third ◽  
International Audience

International audience The main objects of noncrossing Catalan combinatorics associated to a finite Coxeter system are noncross- ing partitions, sortable elements, and cluster complexes. The first and the third of these have known Fuss–Catalan generalizations. We provide new viewpoints for these, introduce a corresponding generalization of sortable elements as elements in the positive Artin monoid, and show how this perspective ties together all three generalizations.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document