Random Unitary Representations of Surface Groups I: Asymptotic Expansions

In this paper, we study random representations of fundamental groups of surfaces into special unitary groups. The random model we use is based on a symplectic form on moduli space due to Atiyah, Bott and Goldman. Let $$\Sigma _{g}$$ Σ g denote a topological surface of genus $$g\ge 2$$ g ≥ 2 . We establish the existence of a large n asymptotic expansion, to any fixed order, for the expected value of the trace of any fixed element of $$\pi _{1}(\Sigma _{g})$$ π 1 ( Σ g ) under a random representation of $$\pi _{1}(\Sigma _{g})$$ π 1 ( Σ g ) into $$\mathsf {SU}(n)$$ SU ( n ) . Each such expected value involves a contribution from all irreducible representations of $$\mathsf {SU}(n)$$ SU ( n ) . The main technical contribution of the paper is effective analytic control of the entire contribution from irreducible representations outside finite sets of carefully chosen rational families of representations.

On valency problems of Saxl graphs

Let 𝐺 be a permutation group on a set Ω, and recall that a base for 𝐺 is a subset of Ω such that its pointwise stabiliser is trivial. In a recent paper, Burness and Giudici introduced the Saxl graph of 𝐺, denoted Σ ⁢ ( G ) \Sigma(G) , with vertex set Ω and two vertices adjacent if and only if they form a base for 𝐺. If 𝐺 is transitive, then Σ ⁢ ( G ) \Sigma(G) is vertex-transitive, and it is natural to consider its valency (which we refer to as the valency of 𝐺). In this paper, we present a general method for computing the valency of any finite transitive group, and we use it to calculate the exact valency of every primitive group with stabiliser a Frobenius group with cyclic kernel. As an application, we calculate the valency of every almost simple primitive group with an alternating socle and soluble stabiliser, and we use this to extend results of Burness and Giudici on almost simple primitive groups with prime-power or odd valency.

On the primary coverings of finite solvable and symmetric groups

A primary covering of a finite group 𝐺 is a family of proper subgroups of 𝐺 whose union contains the set of elements of 𝐺 having order a prime power. We denote by σ 0 ⁢ ( G ) \sigma_{0}(G) the smallest size of a primary covering of 𝐺 and call it the primary covering number of 𝐺. We study this number and compare it with its analogue σ ⁢ ( G ) \sigma(G) , the covering number, for the classes of groups 𝐺 that are solvable and symmetric.

Tempered D-modules and Borel–Moore homology vanishing

We characterize the tempered part of the automorphic Langlands category $$\mathfrak {D}({\text {Bun}}_G)$$ D ( Bun G ) using the geometry of the big cell in the affine Grassmannian. We deduce that, for G non-abelian, tempered D-modules have no de Rham cohomology with compact support. The latter fact boils down to a concrete statement, which we prove using the Ran space and some explicit t-structure estimates: for G non-abelian and $$\Sigma $$ Σ a smooth affine curve, the Borel–Moore homology of the indscheme $${\text {Maps}}(\Sigma ,G)$$ Maps ( Σ , G ) vanishes.

TWO-SIGMA-G: A New Competitive Gene Set Testing Framework for scRNA-seq Data Accounting for Inter-Gene and Cell-Cell Correlation

We propose TWO-SIGMA-G, a competitive gene set test designed for scRNA-seq data. TWO-SIGMA-G uses the mixed-effects regression modelling approach of our previously published TWO-SIGMA to test for differential expression at the gene-level. This regression-based approach can analyze complex designs while accommodating zero-inflated and overdispersed counts and within-sample cell-cell correlation. TWO-SIGMA-G uses a novel approach to adjust for inter-gene-correlation (IGC) at the set-level, which can inflate type-I error when ignored. Simulations demonstrate that TWO-SIGMA-G preserves type-I error and increases power in the presence of IGC compared to other methods designed for bulk and single-cell RNA-seq data. Application to two real datasets of HIV infection in mice and Alzheimer’s disease progression in humans reveal biologically meaningful results. TWO-SIGMA-G is available at https://github.com/edvanburen/twosigma.

Global existence and convergence of a flow to Kazdan–Warner equation with non-negative prescribed function

We consider an evolution problem associated to the Kazdan–Warner equation on a closed Riemann surface $$(\Sigma ,g)$$ ( Σ , g ) $$\begin{aligned} -\Delta _{g}u=8\pi \left( \dfrac{he^{u}}{\int _{\Sigma }he^{u}\mathop {}\mathrm {d}\mu _{g}}-\dfrac{1}{\int _{\Sigma }\mathop {}\mathrm {d}\mu _{g}}\right) \end{aligned}$$ - Δ g u = 8 π h e u ∫ Σ h e u d μ g - 1 ∫ Σ d μ g where the prescribed function $$h\ge 0$$ h ≥ 0 and $$\max _{\Sigma }h>0$$ max Σ h > 0 . We prove the global existence and convergence under additional assumptions such as $$\begin{aligned} \Delta _{g}\ln h(p_0)+8\pi -2K(p_0)>0 \end{aligned}$$ Δ g ln h ( p 0 ) + 8 π - 2 K ( p 0 ) > 0 for any maximum point $$p_0$$ p 0 of the sum of $$2\ln h$$ 2 ln h and the regular part of the Green function, where K is the Gaussian curvature of $$\Sigma $$ Σ . In particular, this gives a new proof of the existence result by Yang and Zhu (Pro Am Math Soc 145:3953–3959, 2017) which generalizes existence result of Ding et al. (Asian J Math 1:230–248, 1997) to the non-negative prescribed function case.

$\omega\sigma$-веерные классы Фиттинга

Рассматриваются только конечные группы. Класс групп $\mathfrak F$ называется классом Фиттинга, если он замкнут относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных $\mathfrak F$-подгрупп; формацией, если он замкнут относительно фактор-групп и подпрямых произведений; формацией Фиттинга, если $\mathfrak F$ является формацией и классом Фиттинга одновременно.Для непустого подмножества $\omega$ множества простых чисел $\mathbb P$ и разбиения$\sigma =\{\sigma_i\mid i\in I\}$, где $\mathbb P=\cup_{i\in I}\sigma_i$ и $\sigma_i\cap\sigma_j=\varnothing$ для всех$i\not =j$, в работе вводятся $\omega\sigma R$-функция $f$ и $\omega\sigma FR$-функция $\varphi$. Областью определения данных функций является множество $\omega\sigma\cup\{\omega'\}$, где$\omega\sigma=\{ \omega\cap\sigma_i\mid\omega\cap\sigma_i\not =\varnothing\}$,$\omega'=\mathbb P\setminus\omega$. Областью значений функций является множество классов Фиттинга и множество непустых формаций Фиттинга соответственно. С помощью функций $f$ и $\varphi$ определяется$\omega\sigma$-веерный класс Фиттинга $\mathfrak F=\omega\sigma R(f,\varphi )=(G: O^\omega (G)\in f(\omega' )$ и $G^{\varphi (\omega\cap\sigma_i )}\in f(\omega\cap\sigma_i )$ для всех $\omega\cap\sigma_i \in\omega\sigma (G))$ с$\omega\sigma$-спутником $f$ и $\omega\sigma$-направлением $\varphi$.В работе приведены примеры $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга. Выделены два вида $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга: $\omega\sigma$-полные и $\omega\sigma$-локальные классы Фиттинга. Их направления обозначены $\varphi_0$ и $\varphi_1$ соответственно. Показано, что каждый непустой неединичный класс Фиттинга является $\omega\sigma$-полным классом Фиттинга для некоторого непустого множества$\omega\subseteq\mathbb P$ и любого разбиения $\sigma$. Получен ряд свойств $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга. В частности, дано определение внутреннего$\omega\sigma$-спутника и показано, что каждый $\omega\sigma$-веерный класс Фиттинга всегда обладает внутренним $\omega\sigma$-спутником. При $\omega=\mathbb P$ введено понятие $\sigma$-веерного класса Фиттинга. Показана связь между $\omega\sigma$-веерными и $\sigma$-веерными классами Фиттинга.

Precise Catalyst Production for Carbon Nanotube Synthesis with Targeted Structure Enrichment

The direct growth of single-walled carbon nanotubes (SWCNTs) with a narrow distribution of diameter or chirality remains elusive despite significant benefits in properties and applications. Nanoparticle catalysts are vital for SWCNT synthesis, but how to precisely manipulate their chemistry, size, concentration, and deposition remains difficult, especially within a continuous production process from the gas-phase. Here, we demonstrate the preparation of W6Co7 alloyed nanoparticle catalysts with precisely tunable stoichiometry using electrospray, which remain solid state during SWCNT growth. We also demonstrate continuous production of liquid iron nanoparticles with in-line size selection. With the precise size manipulation of catalysts in the range of 1-5 nm, and a nearly monodisperse distribution (σg < 1.2), an excellent size selection of SWCNT can be achieved. All of the presented techniques show great potential to facilitate the realization of single-chirality SWCNT production.

Симплектические структуры на пространствах Тейхмюллера $\mathfrak T_{g,s,n}$ и кластерные алгебры

Дается обзор описания с помощью ленточных графов римановых поверхностей $\Sigma _{g,s,n}$ и соответствующих пространств Тейхмюллера $\mathfrak T_{g,s,n}$ с $s>0$ дырками и $n>0$ граничными каспами в подходе гиперболической геометрии. В случае, когда $n>0$, имеет место взаимно однозначное соответствие между множеством тeрстоновских координат смещений и пеннеровских $\lambda $-длин. При этом, с одной стороны, можно определить скобку Пуассона на множестве $\lambda $-длин, исходя из скобки Пуассона на координатах смещений, введенной В.В. Фоком в 1997 г., а с другой - можно определить симплектическую структуру $\Omega_\mathrm{WP}$ на множестве обобщенных координат смещений, исходя из пеннеровской симплектической структуры на множестве $\lambda $-длин. В работе явно выводится симплектическая структура $\Omega_\mathrm{WP}$, которая оказывается весьма похожей на симплектическую структуру, предложенную М. Концевичем для описания представителей $\psi $-классов в подходе комплексно аналитической геометрии. Показано, что эта симплектическая структура действительно обратна фоковской скобке Пуассона.