Получены Lp−Lq-оценки для обобщенных потенциалов Рисса
с осциллирующими ядрами и характеристиками широкого класса,
включающего произведение однородной функции, бесконечно
дифференцируемой в Rn∖{0}, и функции класса
Cm,γ(R˙1+). Описаны выпуклые множества
(1/p,1/q)-плоскости, для точек которых упомянутые операторы
ограничены из Lp в Lq, и указаны области, где эти операторы не
ограничены. В некоторых случаях доказана точность полученных оценок.
В частности, получены необходимые и достаточные условия
ограниченности исследуемых операторов в Lp. В настоящее время
имеется ряд работ по Lp−Lq-оценкам для операторов свертки с
осциллирующими ядрами, в частности, для операторов Бохнера - Рисса
и акустических потенциалов, возникающих в различных задачах анализа
и математической физики. В этих работах рассматриваются ядра,
содержащие только радиальную характеристику b(r), которая
стабилизируется на бесконечности как гёльдеровская функция.
Благодаря этому свойству получение оценок для указанных операторов
сводилось к случаю оператора с характеристикой b(r)≡1.
Подобное сведение в принципе невозможно, когда ядро потенциала Рисса
содержит однородную характеристику a(t′). Поэтому в работе
развивается новый метод, основанный на получении специальных
представлений для символов рассматриваемых операторов с последующим
применением техники Фурье-мультипликаторов, вырождающихся или
имеющих особенности на единичной сфере в Rn.